. . . .
三、（本题满分50分）组合
在座城市之间有两种方式的飞行航线被执行：任意一座城市至少和七座城市有直航；任意两座城市可以通过有限次直航来连接．求最小的整数，使得无论如何安排满足
条件的航线，任意一座城市到任意其他城市最多可以经过次直航到达．
解：首先证明：若接路线为
．
．
、
间至少经过次
到达．设城市
到
的一个最短连
，不妨设有两座城市
．
因为每一座城市至少和七座城市有直航连接，所以城市市有直航连接，
设
有直航连接，且不属于城市
，
又故所以，其次证明：对；当
．对
、
集合与
，取
．
． 座城市时，，城市
，且对、
、
、与城市集合
，
，否则，城市
、
与除
与与除以外至少六座城
以外至少五座城市有直航连接．
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，分别与城市
的所有城市组成的集合为
．
．易知，
之间有更短连接路线．
，矛盾．
．当，
时，
，与集合与集合
中不包括城市
中的所有城市有直航连接；城市中所有城市有直航连接；集合
中其余城市有直航
中所有城市有直航连接；城市
中任意一座城市除与上述的城市
连接；城市
与
有直航连接
有直航连接，与且仅与集合．
这样，城市直航连接，且城市
至少与七座城市有直航连接，集合至少经过
次直航来连接．因此，
中任意一座城市均只与七座城市有
．
学习资料
. . . .
四、（本题满分50分）
求所有的实数，使得、 解：首先证明：为正整数． 由已知，设 则
，
，
．显然，
均为完全平方数．
．
不是解．
故．
设 必有
又当当
时，时， ．所以，
，则
，．
．则．
，且为正整数．
．满足条件．
……①
．
再验证即事实上，
故
因此，只有当为奇数时，才可能有解
学习资料
，
．
．
，即
．
．
. . . .
代入①式有即
两边同乘以并模这与故当
得矛盾．
时，无解．
．
，
，即．
综上，只有
满足题意．
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