阶段强化练(四)
一、选择题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反 C．|－λa|≥|a| 答案 B
解析 对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
2．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)已知向量a＝(0,1)，b＝(2,1)，且(b＋λa)⊥a，则实数λ的值为( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1 答案 D
解析 已知向量a＝(0,1)，b＝(2,1)，b＋λa＝(2,1＋λ)，(b＋λa)⊥a，即(b＋λa)·a＝1＋λ＝0?λ＝－1. 故选D.
3．(2019·四省联考诊断)若向量a＝(1,2)，b＝(1，m)，且a－b与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围是( ) A．(0,2) C．(－2,2) 答案 D
?a－b?·b2m－m2解析 a－b＝(0,2－m)，由于两个向量的夹角为钝角，由夹角公式得＝|a－b||b||2－m|·1＋m2<0，即2m－m2<0，解得m<0或m>2.故选D.
4．(2019·成都七中诊断)已知向量a＝(4，－7)，b＝(3，－4)，则a－2b在b方向上的投影为( )
A．2 B．－2 C．－25 D．25 答案 B
解析 向量a＝(4，－7)，b＝(3，－4)，
B．(－∞ ,2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|≥|λ|·a
∴a－2b＝(－2,1)，
∴(a－2b)·b＝(－2,1)·(3，－4)＝－10， |b|＝
32＋?－4?2＝5，
∴向量a－2b在向量b方向上的投影为 |a－2b|cos〈(a－2b)，b〉＝故选B.
5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的→→→→
两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为( )
?a－2b?·b10
＝－＝－2. |b|5
A．1 C．3 答案 B
解析 ∵O为BC的中点， →1→→
∴AO＝(AB＋AC)
2
1→→m→n→＝(mAM＋nAN)＝AM＋AN， 222mn
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，
22∴m＋n＝2.
6．(2019·沈阳东北育才学校模拟)已知△ABC为等腰三角形，满足AB＝AC＝3，BC＝2，若→→→P为底边BC上的动点，则AP·(AB＋AC)( ) A．有最大值8 C．有最小值1 答案 D
解析 如图，设AD是等腰三角形底边BC上的高，长度为→→→→
3－1＝2.故AP·(AB＋AC)＝(AD
B．是定值2 D．是定值4 B．2 D．4
→→→→→→＋DP)·2AD＝2AD2＋2DP·AD＝2AD2＝2×(2)2＝4.故选D.
1
e1＋e2?≤|e1－λe2|7．(2019·福建闽侯五校期中联考)设单位向量e1，e2对于任意实数λ，都有?2??成立，则向量e1，e2的夹角为( ) π2ππ5π
A. B. C. D. 6336答案 B
解析 设单位向量e1，e2的夹角为θ，
1
e1＋e2?≤|e1－λe2|成立， ∵对于任意实数λ都有?2??1
e1＋e2?2≤|e1－λe2|2成立， ∴对于任意实数λ都有?2??12
222即e21＋e2＋|e1||e2|cos θ≤e1＋λe2－2λ|e1||e2|cos θ， 41
即1＋＋cos θ≤1＋λ2－2λcos θ ，
41?即λ2－2λcos θ－??4＋cos θ?≥0恒成立， 1?∴Δ＝4cos2θ＋4??4＋cos θ?≤0 ， 1
cos θ＋?2≤0, 整理可得?2??
11
cos θ＋?2≥0，可得?cos θ＋?2＝0 ， 再由?2?2???12π故cos θ＝－，∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 23故选B.
→→
8．(2019·赣州十四县(市)期中联考)如图，正六边形ABCDEF中，AC·BD的值为18，则此正六边形的边长为( )
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