第六章 等差数列
第一节 等差数列（一）
【典型例题】
例1、（1）求等差数列1，3，5，7，?的第13项和第100项。 （2）求等差数列4，8，12，?的第8项和第100项。 解：（1）在这个等差数列中a1=1,d=2,n=13 ,100。代入通项公式得： a13=a1+(13-1)d =1+12×2
=25
a100=a1+(100-1)×2
=1+（100-1）×2
=199
（2）a1=4,d=4,n=100,100。代入通项公式得： a8=a1+（8-1）×4 =4+7×4
=32
a100=4+（100-1）×4
=400
例2、已知等差数列0，3，6，9，12，?，问45是这个数列的第几项？ 分析：在等差数列0，3，6，9，12，?中，我们知道a1=0,d=3,an=45,n=？
我们可以根据等差数列的通项公式：an=a1+（n-1）d推导出项数n的公式：an -a1=（n-1）d，（an -a1）÷d= n-1，得到：n=（an -a1）÷d+1，即项数等于末项减去首项的差除以公差，然后加上1。
解：把a1=0,an=45,d=3代入
n=（an -a1）÷d+1 =（45-0）÷3+1
=16
答：45是这个数列的第16项。
例3、计算：1+2+3+4+?+1997+1998
解：数列1，2，3，4，?，1997，1998是等差数列，而且a1=1,a1998=1998,n=1998,所以可以直接代入求和公式。
S1998=（1+1998）×1998÷2=1997001 即： 1+2+3+4+?+1997+1998=1997001
【随堂练习】
1、计算：6+11+16+?+501的值。
2、求自2开始的连续100个偶数的和。
3、已知等差数列5，8，11，?，求出它的第21项和第35项。
【巩固提高】
1、已知等差数列7，11，15，?，195，求这个数列共有多少项？
2、计算：1+4+7+?+298的值。
3、求值：193+187+181+?+103。
4、求自然数中所有三位数的和。
5、自1开始每隔三个数写出1个自然数来，得到数列1，5，9，13，17，?。求这个数列前100个数的和是多少？
6、求从1开始连续100个奇数的和。
第二节 等差数列（二）
【典型例题】
例1、在从1992开始的100个连续自然数中，前50个自然数比后50个自然数的和小多少？
分析与解法一：从1992开始的前50个自然数1992，1993，1994，?组成的数列是等差数列，其中a1=1992,d=1,n=50，从而根据等差数列通项公式
a50=a1+(n-1)d
=1992+（50-1）×1 =2041
这样，后50个自然数即2042，2043，?，其中a1=2041,n=50,d=1，可以求出 a50=a1+(n-1)d
=2042+（50-1）×1
=2096
我们设前50个自然数的和为S1，后50个自然数的和为S2。 S1=（a1+a2）×n÷2
=（1992+2041）×50÷2 =100825
S2=（a1+an）×n÷2 =（2042+2091）×50÷2
=103325
S2-S1=103325-100825=2500
所以从1992开始，前50个自然数的和比后50个自然数的和小2500。
分析与解法二：由分析一可知，从1992开始的前50个自然数构成的等差数列即1992，1993，1994，?2041，后50个自然数构成的等差数列即2042，2043，2044，?，2091，我们把前一数列与后一数列的项一一对应，容易看出后一数列的50个数，每一个都比前一列中相应的数大50，即前50个数的和比后50个数的和少50个50，这样易得：50×50=2500。
答：从1992开始前50个自然数的和比后50个自然数的和小2500。
例2、某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，已知最后一排有70个座位，求这个剧院有多少个座位？
分析：“后一排比前一排多两个座位”，显然是指这25排座位构成等差数列，其中d=2，又已知n=25，a25=70，求S25=？
解：根据题意，这个剧院的25排座位数构成等差数列，其中a25=70，n=25，d=22，那么由等差数列通项公式：
an=a1+（n-1）d
a1=an-（n-1）d =70-（25-1）×2 =22
这样，前25项的和 S25= （a1+a25）×n÷2
=（22+70）×25÷2 =1150（个）
答：这个剧院一共有1150个座位。 例3、（1）在1~200这两百个数中能被9整除的数的和是多少？
（2）在1~200这两百个数中所有不能被9整除的奇数的和是多少？ 分析：（1）1~ 200这两百个数中能被9整除的数是9，18，27，?，198，这些数构成等差数列，其中a1=9，an=198，d=9。
（2）如果直接找出1~200这两百个数中不能被9整除的奇数是很麻烦的。我们不妨采用间接办法来解。可以先找出能被9整除的奇数，然后再用1~100中所有奇数的和减去它们的和即可。
解：（1）由于1~200这200个数中能被9整除的数构成等差数列，其中a1=9，an=198，d=9，那么
n=（an-a1）÷d+1 =（198-9）÷9+1
=22
S22=（a1+an）×n÷2
=（9+188）×22÷2
=2277
（2）能被9整除的奇数9，27，45，?，构成等差数列，其中a1=9，an=189，d=18，则
n=（an-a1）÷d+1
=（189-9）÷8+1 =11
这样（1+3+5+7+?+199）-（9+27+?+189）
=（1+199）×100÷2-（9+189）×11÷2 =10000-1089
=8911 答：（1）1~200中能被9整除的数的和是2277。 （2）1~200中不能被9整除的奇数的和是8911。
【随堂练习】
1、如果把1989表示成39个连续奇数的和，那么，其中最大的一个奇数是多少？
2、学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手赛一场。（1）若有20人参赛，那么一共要进行多少场选拔赛？（2）若一共进行了78场比赛，有多少人参加了选拔赛？
3、计算：0.1+0.4+0.7+1.0+0.13+0.16+0.19+?+1.00
【巩固提高】
1、某市举行小学数学竞赛，赛前规定前15名可以获奖。比赛结果是第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人，?，第十五名并列15名，问得奖的学生共有多少人？
2、求所有被7除余数是1的三位数的和。
3、1~100这100个自然数中所有不能被5或者9整除的数的和是多少？
4、如果把1991写成连续11个奇数的和，那么，其中最大的奇数是多少？
5、有12个同学聚会，如果见面时每个人都和其余的人握手一次，那么一共握手多少次？
6、聚会结束时，统计出一共握手36次，如果参加聚会的每个人都和其他人握手一次，问：有多少人参加聚会？
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