向量自回归与ARCH、GARCH模型

如果回归系数全为0，说明不具有ARCH效应；如果回归系数不全为0，说明具有ARCH效应。

由于?t2是不能直接观测的，所有恩格尔证明了可以用如下回归来检验上述假设，验证ARCH效应：

?0???1u?2u?pu?t2???t2?1???t2?2?????t2?p，其中uu?t表示残差。

对上式可以通过通常的F检验或LM检验（即计算服从卡方分布的nR来检验）来判断是否具有ARCH效应。

我们通常有理由认为ut的方差依赖于很多时刻之前的变化量，问题在于这样我们必须估计很多参数，这一点往往很难精确做到。可以看到：ARCH（p）就是?t2的分布滞后模型，我们就能够用一个或几个?t2的滞后值代替许多ut2的滞后值（变形方法参看几何分布滞后模型），也就是广义自回归条件异方差（GARCH，generalized autoregressive conditional heteroscedasticity）模型，最简单的GARCH模型是GARCH（1，1）模型：

2?t2??0??1ut2?1???1t?1 2该式表明t时期u的条件方差不仅取决于上一期误差项的平方，还取决于上一时期的条件方差。

一般情形下，可以有任意多个ARCH项和GARCH项，GARCH

22222?????（p，q）模型为：?t??0??1ut?1????put?p???1t?1qt?q

另外，ARCH和GARCH模型还可以进一步推广，它们的右边还可以包含外生或预定变量，但应该保证?t2是非负的。与我们可以在描述?t2的模型中加入外生或预定变量一样，我们也可以在回归方程的右

边加入?t2，这样的模型称为ARCH-M模型。

在不加证明的情况下，指出一个结论：GARCH（p，q）模型等价于一个ARCH（p+q）模型。

例：时间序列yt是上海证劵交易所1998年1月5日至2003年3月14日的交易日指数（收盘），请试建立GARCH模型。

实际应用中，GARCH模型中的阶数p值远比ARCH模型中的p值要小，一般，GARCH（1,1）模型就能够描述大量的金融时间序列数据。如果在ARCH检验时，p值很大检验依然显著，即残差序列存在高阶ARCH效应时，应该考虑采用GARCH模型。股价序列常用随机游走模型描述：

yt?yt?1??t