2021版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时跟踪检测

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

A级·基础过关|固根基|

1.(2019届河南八所重点高中第二次联合测评)已知集合A是奇函数集，B是偶函数集．若命题p：?f(x)∈A，|f(x)|∈B，则?p为( )

A．?f(x)∈A，|f(x)|?B B．?f(x)?A，|f(x)|?B C．?f(x0)∈A，|f(x0)|?B D．?f(x0)?A，|f(x0)|?B

解析：选C 全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p：?f(x)∈A，|f(x)|∈B，得?p为?f(x0)∈A，|f(x0)|?B，故选C.

2．(2019届安徽蚌埠第一次教学质量检查)命题p：存在常数数列不是等比数列，则命题?p为( )

A．任意常数数列不是等比数列 B．存在常数数列是等比数列 C．任意常数数列都是等比数列 D．不存在常数数列是等比数列

解析：选C 因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数数列不是等比数列的否定命题?p：任意常数数列都是等比数列，故选C.

3．(2019届广州市调研测试)下列命题中，为真命题的是( ) A．?x0∈R，e0≤0 B．?x∈R，2>x

C．a＋b＝0的充要条件是＝－1

D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1

解析：选D 因为e>0恒成立，故选项A错误；取x＝2，则2＝x，故选项B错误；当a＋b＝0时，若b＝0，则a＝0，此时无意义，所以也不可能推出＝－1；当＝－1时，变形得a＝－b，所以a＋b＝0.故a＋b＝0的充分不必要条件是＝－1，故选项C错误；假设x≤1且y≤1，则x＋y≤2，这显然与已知x＋y>2矛盾，所以假设错误，所以x，y中至少有一个大于1，故选项D正确．故选D.

4．已知命题p：若a>|b|，则a>b；命题q：若x＝4，则x＝2.下列说法正确的是( ) A．“p∨q”为真命题

2

2

2

xx2

abxx2

ababababB．“p∧q”为真命题

- 1 -

C．“?p”为真命题

2

2

D．“?q”为假命题

2

解析：选A 由a>|b|≥0，得a>b，所以命题p为真命题．因为x＝4?x＝±2，所以命题q为假命题，所以“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“?p”为假命题，“?q”为真命题．故选A.

112

5．(2019届太原模拟)已知命题p：?x0∈R，x0－x0＋1≥0；命题q：若a，则

ab下列为真命题的是( )

A．p∧q C．(?p)∧q

B．p∧(?q) D．(?p)∧(?q)

解析：选B 对于命题p，当x0＝0时，1≥0成立，所以命题p为真命题，命题?p为假命11

题；对于命题q，当a＝－1，b＝1时，<，所以命题q为假命题，命题?q为真命题，所以p∧(?q)

ab为真命题，故选B.

6．(2019届唐山第一次模拟)已知命题p：f(x)＝x－ax的图象关于原点对称；命题q：

3

g(x)＝xcos x的图象关于y轴对称．则下列命题为真命题的是( )

A．?p C．p∧q

3

B．q D．p∧(?q)

3

3

解析：选D 对于f(x)＝x－ax，有f(－x)＝(－x)－a(－x)＝－(x－ax)＝－f(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，所以p为真命题；对于g(x)＝xcos x，有g(－x)＝－xcos(－

x)＝－xcos x＝－g(x)，为奇函数，其图象关于原点对称，所以q为假命题，则?p为假命题，p∧q为假命题，p∧(?q)为真命题，故选D.

7．(2019届五溪模拟)有四个关于三角函数的命题：

p1：?x0∈R，sin x0＋cos x0＝2； p2：?x0∈R，sin 2x0＝sin x0； p3：?x∈?－，?，

22

?ππ???

1＋cos 2x＝cos x； 2

p4：?x∈(0，π)，sin x>cos x.

其中真命题是( ) A．p1，p4 C．p3，p4

B．p2，p3 D．p2，p4

?π?解析：选B 因为sin x＋cos x＝2sin?x＋?，所以sin x＋cos x的最大值为2，所

4??

以不存在x0∈R，使sin x0＋cos x0＝2成立，故命题p1是假命题；

因为存在x0＝kπ(k∈Z)，使sin 2x0＝sin x0成立，故命题p2是真命题；

- 2 -

1＋cos 2x2

因为＝cosx，所以 2≥0.由此可得1＋cos 2x?ππ?＝|cos x|，结合x∈?－，?，得cos x2?22?

1＋cos 2x＝cos x，故命题p3是真命题； 2

π2

因为当x＝时，sin x＝cos x＝，不满足sin x>cos x，所以存在x0∈(0，π)，使

42sin x0>cos x0不成立，故命题p4是假命题．故选B.

8．(2019届安徽六安第一中学模拟)已知命题p：若△ABC为锐角三角形，则sin A

A．p∨(?q) C．p∧q

B．(?p)∧q D．(?p)∧(?q)

ππππ

，∴π>A＋B>，因此>A>－2222

解析：选B 命题p：若△ABC为锐角三角形，则0

π

??B>0，则sin A>sin?－B?＝cos B，可知p是假命题；命题q：?x，y∈R，若x＋y≠5，则x≠

2

?

?

－1或y≠6的逆否命题是?x，y∈R，若x＝－1且y＝6，则x＋y＝5，是真命题，因此原命题q是真命题．所以(?p)∧q为真命题．故选B.

9．(2020届惠州市高三调研)有下列三个命题： ①“x>2”是“x－3x＋2≥0”的充分不必要条件； ②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；

③对于命题p：?x0∈R，x0＋x0＋1<0，则?p：?x∈R，x＋x＋1≥0. 其中正确命题的个数是( ) A．1 C．3

2

2

2

2

B．2 D．0

2

解析：选B 不等式x－3x＋2≥0，解得x≥2或x≤1，所以由x>2可以推出x－3x＋2≥0，但由x－3x＋2≥0不能推出x>2，所以“x>2”是“x－3x＋2≥0”的充分不必要条件，①正确；若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故②错误；命题p：?x0∈R，x0＋x0＋1<0的否定?p：?x∈R，x＋x＋1≥0，③正确．故选B.

10.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“?x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________．

解析：若“?x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命题，则“?x∈(a，b)，f(x)＋f(－

2

2

2

2

x)＝0”是真命题，即f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，则a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)

＝0.

答案：0

11．已知命题p：x＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“?q”同时为假命题，则x＝

2

- 3 -

________．

解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3， 因为“?q”为假，则q为真，即x∈Z.

又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3

12．由命题“存在x0∈R，使x0＋2x0＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是_________________________________________．

解析：因为命题“存在x0∈R，使x0＋2x0＋m≤0”是假命题，所以命题“?x∈R，x＋2x＋m>0”是真命题，故Δ＝2－4m<0，即m>1，故a＝1.

答案：1

B级·素养提升|练能力|

13.(2019届河南顶级名校质量测评)下列命题中正确命题的个数是( ) ①“函数y＝x＋9＋

22

2

2

2

2

1

x2＋9

(x∈R)的最小值不为2”是假命题；

②“a≠0”是“a＋a≠0”的必要不充分条件； ③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；

④若命题p：?x0∈R，x0＋x0＋1<0，则?p：?x∈R，x＋x＋1≥0. A．1 C．3

B．2 D．4

2

2

12解析：选B 对于①，设t＝x＋9，t≥3，∴y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，∴y＝tt11012

＋的最小值为，∴函数y＝x＋9＋2(x∈R)的最小值不为2是真命题，故①错误；t3x＋9对于②，因为“a＋a＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，根据原命题及其逆否命题同真同假，可知②正确；对于③，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故③错误；对于④，若命题p：?x0∈R，x0＋x0＋1<0，则?p：?x∈R，x＋x＋1≥0，故④正确．故选B.

14．(2019届湖北荆州调研)已知命题p：方程x－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函4

数f(x)＝x＋的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(?q)；④(?p)∨(?q)，

2

2

2

2

x则其中真命题的个数为( )

A．1 C．3

2

B．2 D．4

2

解析：选C 由于Δ＝4a＋4>0，所以方程x－2ax－1＝0有两个实数根，即命题p是真

- 4 -

4

命题；当x<0时，f(x)＝x＋的值为负值，故命题q为假命题．所以p∨q，p∧(?q)，(?p)∨(?q)

x是真命题，故选C.

12

15．已知命题p：x＋2x－3>0；命题q：>1，若“(?q)∧p”为真，则x的取值范围

3－x是____________________．

解析：因为“(?q)∧p”为真，即q假p真，而q为真命题时，

x－2

<0，即2

q为假命题时，有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3>0，解得x>1或x<－3，由

??x>1或x<－3，?得x≥3或1

＋∞)．

答案：(－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)

x2－x＋1x16．已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝a(a>1，x≥2)．

x－1

(1)若?x0∈[2，＋∞)，使f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为________． (2)若?x1∈[2，＋∞)，?x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________．

（x－1）＋（x－1）＋11

解析：(1)∵f(x)＝＝(x－1)＋＋1，x≥2，∴x－1≥1，

x－1x－1∴f(x)≥2（x－1）·

1

＋1＝3. x－1

2

当且仅当x－1＝

1

，即x＝2时等号成立． x－1

∴m∈[3，＋∞)．

(2)∵g(x)＝a(a>1，x≥2)， ∴g(x)min＝g(2)＝a.

∵?x1∈[2，＋∞)，?x2∈[2，＋∞)使得f(x1)＝g(x2)，

∴g(x)min≤f(x)min.又由(1)知f(x)min＝3，∴a≤3，即a∈(1，3 ]． 答案：(1)[3，＋∞) (2)(1，3 ]

2

2

x - 5 -