高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题

∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b=15轨迹方程为

2

x2y2??11615

点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出

(x?1)2?y2?(x?1)2?y2?4，再移项，平方，…

相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！

例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且

3sinC-sinB=5sinA,求点A的轨迹方程。

分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆半径），可转化为边长的关系。

解：sinC-sinB=

35sinA

32RsinC-2RsinB=5·2RsinA 3∴AB?AC?5BC

即AB?AC?6 （*）

∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）

∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为

x2y2??1916 （x>3）

点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）

例5、定长为3的线段AB的两个端

点在y=x2上移动，AB中点为M，求点M到x轴的最短距离。

分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)，B(x2，X22)，又设AB中点为M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。

解法一：设A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中点M(x0，y0)

则

22?(x1?x2)2?(x12?x2)?9??x1?x2?2x0?22?x1?x2?2y0 ① ②

由①得(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]=9

即[(x1+x2)2-4x1x2]·[1+(x1+x2)2]=9 ④ 由②、③得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0 代

入

④

得

[(2x0)2-(8x02-4y0)]·[1+(2x0)2]=9 ∴4y02?4x0?921?4x0，

24y0?4x0?992?(4x?1)??10224x04x0?1 ≥29?1?5,

y0?54

22当4x02+1=3 即

x0??时，(y)0min?54此