高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题

设弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中点为(x，y)，则y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22)

?y∴yx?x112?2(x1?x2)2 ∴2=2·2x，x?1 221

将x?1代入y=2x得y?，轨迹方程是22

x?12(y>1) 27、y2=x+2(x>2)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x，y)，则

22y12?2x1,y2?2x2,y12?y2?2(x1?x2),y1?y2?(y1?y2)?2

x1?x2∵kAB?kMP?y?0x?2y2

?2y?2，即y=x+2 ，∴x?2又弦中点在已知抛物线内P，即y2<2x，即x+2<2x，∴x>2

8、4

a2?b2?4,c2?8,c?22，令x?22代入方程得

8-y2=4

∴y2=4，y=±2，弦长为4 9、?2或?1

y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k2)x2-2kx-2=0 ①

?1?k2?0????0得4k2+8(1-k2)=0，k=?2 ②1-k2=0得k=±1 y10、解：a2=25，b2=9，c2=16P 设F1、F2为左、右焦点，则F1(-4，0)F2(4，① 0)

xF1F2设PF?r,PF112?r2,?F1PF2?? r?r?2?则? ?r?r?2rrcos??(2c)12?1222212 ①2-②得2r1r2(1+cosθ)=4b2 ∴1+cosθ=

4b22b2?2r1r2r1r2 ∵r1+r2?2r1r2，

∴r1r2的最大值为a2 ∴1+cosθ的最小值为

?18252b2a2，即1+cosθ

0?????arccos7257cosθ??25， 则当???时，2sinθ取值得最大值1， 即sin∠F1PF2的最大值为1。 11、设椭圆方程为由题意：C、2C、∴

a24c?c??c即a2?2c2cx2y2??1(a?b?0)a2b2

a2?cc成等差数列，

，

∴a2=2(a2-b2),∴a2=2b2 椭圆方程为x2y2?2?122bb，设A(x1，y1)，B(x2，

y2) 则

x221y2b2?1b2?1①

x2222b2?y2b2?1②

①-②得x2x221?2y212b2??y2b2?0

∴xm2b2?ymb2?k?0

即?22?k?0 ∴k=1

直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3，入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0x2+2(x+3)2-2b2=0 ∴

3x2+12x+18-2b2=0

AB?x11?x21?1?3122?12(18?2b2)2?43

代得

，