专题_基本不等式常见题型归纳(学生版)

专题：基本不等式

基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．

三个不等式关系：

（1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号． （2）a，b∈R，a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号． a2＋b2a＋b2

（3）a，b∈R，2≤(2)，当且仅当a＝b时取等号．

上述三个不等关系揭示了a2＋b2 ，ab ，a＋b三者间的不等关系．

a＋b＋

其中，基本不等式及其变形：a，b∈R，a＋b≥2ab(或ab≤(2)2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系

【典例1】已知a＞b＞1且2logab?3logba?7，则

＋

1的最小值为 .

a?2b?1x2?y2练习：1．若实数x,y满足x?y?0，且log2x?log2y?1，则的最小值为 ．

x?y2.若实数x,y满足xy?3x?3(0?x?311的最小值为 ． )，则?xy?32accc5的最小值为 . ???bab2c?23.已知a?0,b?0,c?2，且a?b?2，则

4xy

【典例2】已知x，y为正实数，则＋的最大值为 ．

4x＋yx＋y【典例3】若正数a、b满足ab?a?b?3,则a?b的最小值为__________.

22变式：1.若a,b?R?,且满足a?b?a?b,则a?b的最大值为_________.

2.设x?0,y?0，x?2y?2xy?8，则x?2y的最小值为_______

3.设x,y?R，4x?y?xy?1，则2x?y的最大值为_________

4.已知正数a，b满足

2219??ab?5，则ab的最小值为 ab【题型二】含条件的最值求法

【典例4】已知正数x,y满足x?y?1，则

练习1．已知正数x,y满足

2.已知正数x,y满足x?2y?2，则

3．已知函数y?a?b(b?0)的图像经过点P(1,3)，如下图所示，则

4．己知a，b为正数，且直线 ax?by?6?0与直线 2x?(b?3)y?5?0互相平行，则2a+3b的最小值为________．

a2b1

5.常数a，b和正变量x，y满足ab＝16，＋＝.若x＋2y的最小值为64，则ab＝________.

xy2

6.已知正实数a,b满足

x41?的最小值为 x?2y?1114x9y???1，则的最小值为 . x?1y?1xyx?8y的最小值为 ． xy41?的最小值为 . a?1b12??1，则ab的最大值为 ．

2a?bb2b?aa????【题型三】代入消元法

【典例5】（市2016届高三调研测试·14）已知ab?值为 ．

练习1．设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是 ．

14，a,b?(0,1)，则

11?a?21?b的最小

2．已知正实数x，y满足值为 ．

，则x + y 的最小

3．已知正实数x,y满足(x?1)(y?1)?16，则x?y的最小值为 ．

4.若a?0,b?2，且a?b?3，则使得

5.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值围是_________

6.已知x,y,z?R，且x?y?z?1，x?y?z?3，求xyz的最大值为______

22241取得最小值的实数a= 。 ?ab?22