射影几何观点在初等几何中的应用

图2

三、点列中四点的交比

定义1 共线四点A,B,C,D的交比定义为两个单比(ABC)与(ABD)的比，记为

(AB,CD)?(ABC)

(ABD)其中A，B两点称为基点，C，D两点称为分点。

AC(ABC)BCAC?BD 根据交比的定义有(AB,CD)? ??(ABD)ADBC?ADBD不相同的共线四点的交比与点的排列顺序有密切的关系。 定理1 两基点与分点交换，交比的值不变。即 (CD,AB)?(AB,CD)

定理2 只有两基点交换或只有两分点交换，交比的值与原来的交比值互为倒数。即 (BA,CD)?(AB,DC)?1

(AB,CD)定理3 交换(AB,CD)中间两字母顺序或交换两端字母顺序所得的交比值与原来交比值和为常数1，即

(AC,BD)?(DB,CA)?1?(AB,CD) 定理 4 一直线上的无穷远点分其上的任何亮点的单比等于1.

定理 5 已知两个不同的普通点A(a),B(b),P(a?tb)为直线AB上一点，且(ABP)??，则

???tb3 。 a3推论 1 若共线四点为A(a),B(b),C(a?t1b),D(a?t2b)，则

4

(AB,CD)?其中

t1 t2t1t2(t1?t2)?0

推论 2 若共线四点A,B,C,D的坐标分别为a?t1b,a?t2b,a?t3b,a?t4b， 则

(AB,CD)?(t1?t3)(t2?t4)

(t2?t3)(t1?t4)其中t1,t2,t3,t4互不相等。

在共线四点的交比中，交比值为-1的情况十分重要，若(AB,CD)??1，则称C,D调和分离

A,B，或称A,B与C,D调和共轭。交比值-1叫做调和比。

例3

设A(1,1,1),B(1,?1,1),D(1,0,1)为共线三点，且(AB,CD)?2,求点C的坐标。

解 设 代入坐标可得

C?A?t1B,D?A?t2B

t2?1

由(AB,CD)?t1?2得 t2t1?2

所以C?A?2B,即点C坐标为(3,?1,3)

四、线束中四条直线的交比的应用

定义 1 若a,b,c,d为线束S中的四条直线，则

(ab,cd)?

(abc)sin(a,c)sin(b,d)?(abd)sin(b,c)sin(a,d)

叫做a,b,c,d的交比，其中a,b叫基线，c,d叫做分线。

定理1 若线束S中的四条直线a,b,c,d被任意一直线s截于A,B,C,D四点，则 (AB,CD)?(ab,cd)

与点列交比像是，可以得到线束交比的性质，共点四直线的交比也有24个交比值，分为六类，每类中四个交比值相等.

5

定理2 若a,b,a?t1b,a?t2b为四条不同的普通共点直线li(i?1,2,3,4)的齐次坐标，则 (l1l2,l3l4)?t1 t2 t1t2(t1?t2)?0

定理3 交比经中心射影后不变，即交比为射影性质。

例4 ?ABC中?ABC的内、外角分线AM,AN交BC于M,N。求证：证明 如图3，记直线AB,AC,AM,AN，分别为a,b,c,d则

BMBN?.。 MCCN(ab,cd)? 由定理1得

sin(a,c)?sin(b,d)??1sin(b,c)?sin(a,d)

(ab,cd)?(BC,MN) 所以

(BC,MN)? 即

BM?CN??1CM?BN

BMBN? MCCN

得证。

通过仿射变换、笛沙格定理、点列中四点的交比和线束中四条直线的交比在初等几何中的应用，可以看出，射影几何观点在初等几何中的应用是十分广泛的。

参考文献：1.朱德祥.《高等几何》.北京.教育出版社.1983

2.李修昌.《高等几何》.哈尔滨.工业大学出版社.2008 3.钟集.《高等几何》.北京.高等教育出版社.1983

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