2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4.1导数与不等式的综合问题练习理北师大版

3.4.1 导数与不等式的综合问题

核心考点·精准研析

考点一 导数法证明不等式

x-1

【典例】(2020·莆田模拟)已知函数f(x)=xe-ax+1,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线l的斜率为3e-2.

(1)求a的值及切线l的方程. (2)证明:f(x)≥0. 【解题导思】 序题目拆解 号 (1)利用导数的几利用求导的方法求出函数切线的斜率,再利用切线斜率的已知条件求出a的值,再将何意义求切线方 程 (2)用导数法证明利用求导的方法判断函数的单调性,从而证出不等式成立 不等式 【解析】(1)由f(x)=xe-ax+1, 得f′(x)=(x+1)e-a,

因为曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线l的斜率为3e-2,所以f′(2)=3e-a=3e-2,解得a=2, 所以f(2)=2e-4+1=2e-3,故切线l的方程为:y-(2e-3)=(3e-2)(x-2), 即(3e-2)x-y-4e+1=0. 所以a=2,切线l的方程为 (3e-2)x-y-4e+1=0.

(2)由(1),可得f(x)=xe-2x+1, f′(x)=(x+1)e-2,

所以当x∈(-∞,-1]时,f′(x)<0. 令g(x)=(x+1)e-2(x>-1), 则g′(x)=(x+2)e>0,

所以当x∈(-1,+∞)时,g(x)单调递增, 即f′(x)单调递增,又因为f′(1)=0, 所以当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,

- 1 -

x-1x-1x-1

x-1

x-1

x-1

切点横坐标代入函数解析式求出切点纵坐标,再利用点斜式求出切线方程,最后转化为切线的一般式方程. 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,

在(1,+∞)上单调递增.所以f(x)≥f(1)=0.

1.利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法

(1)若f(x)与g(x)的最值易求出,可直接转化为证明f(x)min>g(x)max.

(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出,可构造函数h(x)=f(x)-g(x),然后根据函数h(x)的单调性或最值,证明h(x)>0.

2.证明不等式时的一些常见结论 (1)ln x≤x-1,等号当且仅当x=1时取到. (2)e≥x+1,等号当且仅当x=0时取到. (3)ln x0.

x

x

(4)≤ln(x+1)≤x,x>-1,等号当且仅当x=0时取到.

(2018·全国卷Ⅰ改编)已知函数f=ae-ln x-1.

x

证明:当a≥时,f≥0.

【证明】当a≥时,f(x)≥-ln x-1.

设g(x)=-ln x-1,则g′(x)=-.

当01时,g′(x)>0. 所以x=1是g(x)的最小值点. 故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.

因此,当a≥时,f(x)≥0. 考点二 由不等式恒成立求参数

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命 1.考什么:(1)考查利用导数研究函数单调性、求最值、不等式等问题. 题 (2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养及转化与化归、分类与整合等数学思想. 精 2.怎么考:与导数法研究函数单调性、最值等知识相结合考查不等式恒成立求参数等问题. 解 3.新趋势:以导数法研究函数单调性、求函数极值、最值、导数的几何意义等知识交汇考查为主. 读 不等式恒成立问题中的常用结论 学 (1)f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a, 霸 (2)f(x)≤b恒成立?f(x)max≤b, 好 (3)f(x)>g(x)恒成立, 方 构造F(x)=f(x)-g(x),则F(x)min>0. 法 (4)?x1∈M,?x2∈N,f(x1)>g(x2)?f(x1)min>g(x2)max. 单变量不等式恒成立问题

【典例】已知函数f(x)=me-x.

(1)若m=1,求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程.

(2)若关于x的不等式f(x)≥x(4-me)在[0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围. 【解析】(1)当m=1时,f(x)=e-x,

所以f′(x)=e-2x,所以f′(0)=1,又f(0)=1,

所以曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0. (2)由f(x)≥x(4-me),得me(x+1)≥x+4x, 不等式f(x)≥x(4-me)在[0,+∞)上恒成立,

xx

x

2

x

x

2

x

x

2

等价于当x≥0时,m≥,

令g(x)=(x≥0),则g′(x)=

-1,

.

由g′(x)=0及x≥0,得x=当x∈(0,所以当x=

-1)时,g′(x)>0,此时g(x)单调递增;当x∈(-1时,

-1,+∞)时,g′(x)<0,此时g(x)单调递减.

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g(x)max=g(-1)=2,所以m≥2

,+∞).

.

所以实数m的取值范围为[2

双变量不等式恒成立问题

【典例】已知函数f(x)=x-1-aln x(a<0). (1)讨论函数f(x)的单调性.

(2)若对于任意的x1,x2∈(0,1],且x1≠x2,都有|f(x1) -f(x2)|<4,求实数a的取值范围.

【解析】(1)由题意知f ′(x)=1-=(x>0),

因为x>0,a<0,所以f ′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.

(2)不妨设0

>>0,

所以|f(x1)-f(x2)|<4?f(x2)-f(x1)<4?f(x1)+>f(x2)+.

设g(x)=f(x)+,x∈(0,1],易知g(x)在(0,1]上单调递减,

所以g′(x)≤0在(0,1]上恒成立?1--=≤0在(0,1]上恒成立?a≥x-在(0,1]

上恒成立,易知y=x-在(0,1]上单调递增,其最大值为-3.因为a<0,所以-3≤a<0,所以实数a的取值范围为[-3,0).

可转化为不等式恒成立的问题

【典例】(2020·十堰模拟)已知函数f(x)=axe-x-2x. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.

(2)当x>0时,若曲线y=f(x)在直线y=-x的上方,求实数a的取值范围. 【解析】 (1)当a=1时,f(x)=xe-x-2x,

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x

2

x

2