中考专题复习 方程与函数的综合问题

中考专题复习 方程与函数的综合问题

【经典范例引路】

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例1 如图，设直线y＝-x＋b（b＞0）与开口向上的抛物线y＝ax相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），与x轴相交于C（x3，0），与y轴相交手点D．（1）求证：

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111+=，x1x2x3y1y2＝b；（2）当B为DC的中点时，求ab的值；（3）取a＝1，当 AD∶DB＝2∶1时，求b的值．

解 （1）证明：∵A、B是直线y=-x+b与抛物线的交点，

?y??x?b,∴（x1，y1），（x2，y2）是方程组?的解， 2y?ax?故x1，x2是方程ax+x-b＝0的两根，由根与系数的关系得： x1+x2= -2

1b, x12x2= -, aa又直线y＝-x＋b与x轴交于点C（x3，0）， ∴x3＝b， ∴

11x1?x21b11+== -/-==； x1x2x1?x2aabx32

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b22

)=b. a11（2）作BE⊥x轴于E，∵DB=BC, ∴OD=BE,OE=OC，

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∵D(0,b),C(b,0)∴B(b, b). 又点B在抛物线y＝ax上，

22112∴b＝a2（b）?ab＝2． 22y1y2=ax12ax2=a2(x12x2)=a2(-（3）过A点作AF⊥x轴于F，∵AD∶DB＝2：1，∴OF∶OE＝2∶1． ∴x1∶x2＝-2∶1， 又x1+x2= -

1= -1. ∴x1= -2,x2=1, ∴b=-x12x2=2。 a

【解题技巧点拨】

此类问题常见的形式和解题方法是：①用待定系数法列出关于函数解析中待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出特定系数的值；②将函数图象与坐标轴交点坐标与方程

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的根对应起来；③利用函数研究方程的根与系数之间的关系；④利用函数图象交点的坐标与方程组的解之间的关系及根与系数关系解题。

【综合能力训练】

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1．若一元二次方程x-2x-m＝0无实数根，则一次函数y＝（m+1）x＋m－1的图像不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（2001，黄冈市）

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2．已知抛物线y＝x＋2（k＋1）x-k与x轴有两个交点，且这两个交点分别在直线x＝1的两侧，则k的取值范围是 ．（2001年，温州市）

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3．（1）若抛物线y＝ax+x+2经过点（-1，0）．①求a的值，并写出这个抛物线的顶点坐标；②若点P（t，t）在抛物线上，则点P叫做抛物线上的不动点，求出这个抛物线上所有不动点的坐标．

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（2）当 a取a1时，抛物线y＝ax＋x＋2与 x轴正半轴交于点M（m，0）；当 a取a2

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时，抛物线y＝ax+x+2与x轴正半轴交于点N（n，0），若点M在点N的左边，试比较a1和a2的大小．（2000，南京市）

4．在平面直角坐标系的x轴上有两点A（x1，0），B（x2，0），在y轴上有一点C，已

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知x1，x2是方程x-mx－5＝0的两根，且x1+x2=26,△ABC的面积是9，（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求图象过A、B、C三点的二次函数的解析式．（2000，嘉兴市）

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5．设 x1、x是方程2x－4mx＋（2m-4m-3）＝0的两个实数根

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（1）若y＝x1+x2,求y与m之间的函数关系式及自变量m的取值范围

（2）画出（1）题中的函数y的图象，观察图象，说明函数y有没有最小值或最大值，如果有，求出最大值或最小值；如果没有，请说明理由．

6．已知：关于x的函数y＝（a＋3a＋2）x＋（a＋1）x十

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1的图象与x轴总有交点． 4（1）求a的取值范围；

（2）设函数的图象与x轴有两个不同的交点A、B，其坐标为A（x1，O）、B（x2，O），

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当

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+＝a-3时，求a的值．（2001，十堰市） x1x2

7．已知：二次函数的图像经过 A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m （1）若m为定值，求此二次函数的解析式；

（2）若二次函数的图像与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围； （3）若二次函数的图像截直线y＝ -x+1所得线段的长为 22，确定m的值．

（2001，北京市东城区）

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8．已知二次函数y＝x－（2m+4）x＋（m+2）（m-2）的图象与y轴的交点 C在原点下方，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，点A、点B到原点O的距离分别为OA与OB．

（1）求证：OB-OA＝2m＋4； （2）确定实数m的取值范围；

（3）若3（OB－OA）＝20A2OB，求此二次函数的解析式．

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9．已知，x1、x2是关于x的方程x-3x＋m＝0两个不相等的实数根，设S＝x1+x2． （1）求S关于m的函数解析式，并求自变量m的取值范围；（2）当函数值S＝7时，3

求x1+8x2的值.

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10．已知抛物线y＝x＋（k-2）x+1的顶点为 M，与x轴交于A（a，0），B（b，0）

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两点，且k－（a+ka+1）（b＋kb＋1）＝0，（1）求k的值；（2）已知抛物线上是否存在点N，使△ABN面积为43？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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【创新备考训练】

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11．已知：抛物线 y＝x-2x＋6－m和直线y＝ -2x+6+m，它们的一个交点的纵坐标为4.

（1）求抛物线和直线的解析式；（2）如图，直线y＝kx（k＞0）与（1）中的抛物线交于两个不同的点A、B，与（1）中的直线交于点P，分别过A、B、P作x轴的垂线，设垂足分别为A′、B′、P′，试用含k的代数式表示

11112+，并证明： +=；OA'OB'OA'OB'OP'（3）在（2）中能否适当选取k的值，使A′A＋B′B＝8，如果能，求出此时k的值；如

果不能请说明理由．

123x+nx+2-m的图象与x轴交于A、B两点，24COBO与y轴交于点C，其中点A在点B的左边．若∠ACB＝90°．+=1.（1）求点C的

AOCO12．在直角坐标系xoy中，二次函数y=

坐标及这个二次函数的解析式；（2）试设计两种方案：作一条与y轴不重合、与△ABC的两边相交的直线，使得截得的三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一。求所截得的三角形三个顶点的坐标（不要求证明）．

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13．如图，抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴相交于点C，且线段长度有：OB＝2OA＝2OC．（1）求代数式abc的值；（2）若直线y＝ax＋b经过A、B、C中的一点，求证：对一切实数x，代数式ax＋bx＋c的值不大于

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9． 16

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