厦门市2019届高中毕业生第一次质量检查
数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A??x|1?x?4?则A??CRB?? ，B?x|x2?2x?3?0，A.(1,2) B.(1,3) C.(1,4) D.(3,4)
2.欧拉公式e?cos??isin?(e为自然对数的底数，i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，
i???e?1?0被英国科学期刊《物理世界》评选为十大最伟大的公式之一，根据欧拉公式可知，复数e的虚部为 A. ?i??-i61111i B.i C.? D.
22223.函数f?x??sin??x?????????0?的最小正周期为?，则f?x?的单调递增区间可以是 6?A.?-，? B.?-?????36???5???5?11????2??，? C.?，? D.?，? ?1212??1212??63??x?0?24.已知x,y满足不等式组?x?y?2?0,则z??x?1??y2的最小值为
?2x?y?5?0?A.
932 B. C.5 D.5
225.甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从N5，0.1，如果零件尺寸在??-3?，??3??以外，我们就有
2??理由认为生产中可能出现了异常情况.现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：
则以下判断正确的是
A.甲、乙两厂生产都出现异常 B.甲、乙两厂生产都正常
C.甲厂生产正常，乙厂出现异常 D.甲厂生产出现异常，乙厂正常
·1·
6.已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，点1，-3在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的方程为
??x2y2y2x2y2x22?1 B.?x?1 C.??1 D.??1 A.y?3312441227.在右侧程序框图中，输入n=5，按程序运行后输出的结果是
A.3 B.4 C.5 D.6
?2x,x?0?,若f????1，则f?f???1??? 8.已知f?x???13??x,x?03 A.
114或1 B.或1 C. D.1
222629.已知?1?x??1?ax?展开式中x项的系数为21，则实数a? A.?77735 B.- C.1或- D.-1或
255510.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A. ??8?8?8 B.? C.??8 D.? 33323x2y2??1的右焦点为F，P是椭圆上一点， 11.已知椭圆95点A0,23，当?APF的周长最大时，?APF的面积等于
??A.
1121113213 B. C. D.
444412.已知点列An?an,bn?n?N???是函数y?a?a?0,a?1?图像上的
x点，点列Bn?n,0?满足AnBn?AnBn?1，若数列?bn?中任意相邻三项能构成三角形三边，则a的取值范围是 A. 0?a?5?15?1 或a? 22 B.
5?15?1?a?1 或1?a? 22·2·
C. 0?a?
3?13?13?13?1 或a? D. ?a?1 或1?a?2222第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知数列?an?的前n项和为Sn，Sn?3an?2n?N?,则数列?an?的通项公式为 。 14.在?ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=8，则AB?AC? 。
15.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为28?，?PAB
是等边三角形，平面PAB?平面ABCD，则a? 。
16.定义在(-2，2)上的奇函数f?x?恰有3个零点，当x??0，2?时，f?x??xlnx?a?x?1??a?0?,则a的取值范围是 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)
在?ABC中，点D在BC边上，已知cos?CAD?(Ⅰ)求?ADC；
(Ⅱ)若AB?10，CD?6,求BD.
18.(本小题满分12分)
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB?AC，A1A?AB?AC，D是AB中点.
(Ⅰ)记平面B1C1D?平面A1C1CA?l，在图中作出l，并说明画法；
(Ⅱ)求直线l与平面B1C1CB所成角的正弦值.
19.(本小题满分12分)
已知一种动物患有某种疾病的概率为0.1，需要通过化验血液来确定是否患该种疾病，化验结果呈阳性则患病，呈阴性则没有患病，多只该种动物检测时，可逐个化验，也可将若干只动物的血样混在一起化验，仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性，若混合血样呈阳性，则该组血样需要再逐个化验.
·3·
??25310,COS?C?. 510(Ⅰ)求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率；
(Ⅱ)现有4只该种动物的血样需要化验，有以下三种方案 方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验； 方案三：混合在一起化验.
请问：哪一种方案更适合(即化验次数的期望值更小).
20 .(本小题满分12分)
已知抛物线y2?2px?p?0?上一点M(t,8)到焦点F的距离是
5t. 4(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(Ⅱ)过F的直线与抛物线C交于A,B两点，是否存在一个定圆与以AB为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数f?x??lnx,g?x?是f?x?的反函数.(Ⅰ)求证：当x?0时，f?x?1??-
12x?x； 2(Ⅱ)若g?x??g??x??2gmx对任意x?R恒成立，求实数m的取值范围.
2??
请考生在22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，点A在⊙O上，过点O的割线PBC交⊙O于点B,C，且PA=4，PB=2，OB=3，∠APC的平分线分别交AB,AC于D，E. (Ⅰ)证明：∠ADE=∠AED； (Ⅱ)证明：AD?AE?BD?CE.
23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数选讲
已知曲线C的极坐标方程是?-4sin??0.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标
3?. 4(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
系，直线l过点M(1，0)，倾斜角为
·4·
(Ⅱ)设直线l与曲线C交于A、B两点，求MA?MB.
24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f?x??x?2.
(Ⅰ)解不等式f?x??f?x?1??5；
(Ⅱ)若a?1且f?ab??a?f??，证明：b?2.
?b??a?·5·
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