15
(3)设P(x，x＋)．
22
111155
由△PCA和△PDB面积相等，得××(x＋4)＝×|－1|×(2－x－)，解得x＝－.
222222155
则x＋＝， 224
55
∴P点坐标是(－，)．
24
类型3 二次函数的图像与性质
2
16．(2016·乐亭一模)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋bx与y＝bx＋a的图像可能是( C )
A B C D
2
17．(2015·烟台)如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax＋bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( C )
A．b＞4ac
2
B．ax＋bx＋c≥－6
C．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞n
2
D．关于x的一元二次方程ax＋bx＋c＝－4的两根为－5和－1
2
18．(2014·滨州)已知二次函数y＝x－4x＋3.
(1)用配方法求其函数的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况； (2)求函数图像与x轴的交点A，B的坐标及△ABC的面积．
222
解：(1)y＝x－4x＋3＝x－4x＋4－1＝(x－2)－1. ∴其函数的顶点C的坐标为(2，－1)．
∵开口向上，∴当x≤2时，y随x的增大而减小； 当x>2时，y随x的增大而增大．
2
(2)令y＝0，则x－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3. ∴当点A在点B左侧时，A(1，0)，B(3，0)； 当点A在点B右侧时，A(3，0)，B(1，0)． ∴AB＝|1－3|＝2.
过点C作CD⊥x轴于点D，则 1
S△ABC＝AB·CD
21
＝×2×1
2
＝1.
2
19．(2016·唐山开平区一模改编)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx－2mx－2(m≠0)与y轴交于点A，其对
2
称轴与x轴交于点B. (1)求点A，B的坐标；
(2)如果抛物线与x轴只有唯一的公共点，请确定m的取值或取值范围． 解：(1)当x＝0时，y＝－2.∴A(0，－2)． －2m
∵对称轴为直线x＝－＝1，∴B(1，0)．
2m
(2)抛物线与x轴只有一个公共点， 222
∴b－4ac＝(－2m)－4·m·(－2)＝4m＋8m＝0.解得m1＝0，m2＝－2. 又∵m≠0，∴m＝－2.
12
20．(2016·沧州模拟)如图，二次函数y＝－x＋bx＋c的图像经过点A(4，0)，B(－4，－4)，且与y轴交于点C.
4(1)试求此二次函数的解析式；
(2)试证明：∠BAO＝∠CAO(其中O是原点)；
(3)若P是线段AB上的一个动点(不与A，B重合)，过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图像及x轴于Q，H两点，试问：是否存在这样的点P，使PH＝2QH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵点A(4，0)与B(－4，－4)在二次函数图像上，
??0＝－4＋4b＋c，∴? ?－4＝－4－4b＋c.?
1??b＝，解得?2
??c＝2.
121
∴二次函数解析式为y＝－x＋x＋2.
42
(2)证明：过点B作BD⊥x轴于点D，由(1)，得C(0，2)， CO21
则在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝；
AO42BD41
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝＝.
AD82∵tan∠CAO＝tan∠BAD，∴∠CAO＝∠BAO.
1
(3)由点A(4，0)与B(－4，－4)，可得直线AB的解析式为y＝x－2.
21121
设P(x，x－2)(－4＜x＜4)，则Q(x，－x＋x＋2)．
24211121
∴PH＝|x－2|＝2－x，QH＝|－x＋x＋2|.
22421121
∴2－x＝2|－x＋x＋2|.
242112
当2－x＝－x＋x＋4时，
22
5
解得x1＝－1，x2＝4(舍去)．∴P(－1，－)；
2112
当2－x＝x－x－4时，
22
7
解得x1＝－3，x2＝4(舍去)．∴P(－3，－)．
2
57
综上所述，存在满足条件的点P，它的坐标是(－1，－)或(－3，－)．
22
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