数学文史类
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数z＝i2(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2． “1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )．
A．9 B．10 C．12 D．13
4．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )．
A．4 B．3 C．2 D．1 5．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝3b，则角A等于( )．
ππππA．3 B．4 C．6 D．12
6．函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x－4x＋4的图象的交点个数为( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )．
2
32?1A．2 B．1 C．2 D．2 8．已知a，b是单位向量，a2b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )．
A．2?1 B．2 C．2?1 D．2?2
9．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为( )．
1AD，则＝2AB1137A．2 B．4 C．2 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
10．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(
UA)∩B＝__________.
?x?2s?1?x?at,11．在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：?(s为参数)和直线l2：?(t为参数)
y?sy?2t?1??平行，则常数a的值为__________．
12．执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．
?x?2y?8,?13．若变量x，y满足约束条件?0?x?4,则x＋y的最大值为
?0?y?3,?__________．
x2y214．设F1，F2是双曲线C：2?2?1(a＞0，b＞0)的两个焦点．若
ab在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为__________．
15．对于E＝{a1，a2，?，a100}的子集X＝{ai1，ai2，?，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，?，
2013 湖南文科数学 第1页
x100，其中xi1＝xi2＝?＝xik＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0，?，0. (1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于__________；
(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，?，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，?，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
π??16． (本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos x2cos?x??.
3???2π?(1)求f??的值；
?3?1(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合．
4
17． (本小题满分12分)如图，在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动． (1)证明：AD⊥C1E；
(2)当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积．
18． (本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示 X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量； Y 51 48 45 42 频数 4 (2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率．
*
19． (本小题满分13分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S12Sn，n∈N. (1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前n项和．
x22
20．(本小题满分13分)已知F1，F2分别是椭圆E：＋y＝1的左、右焦点，F1，F2关于直线x＋y－2＝0
5的对称点是圆C的一条直径的两个端点． (1)求圆C的方程；
(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b，当ab最大时，求直线l的方程． 21． (本小题满分13分)已知函数f(x)＝
1?xxe. 1?x2
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.
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数 学(文史卷)
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 答案：B
解析：z＝i2(1＋i)＝i－1＝－1＋i，故选B． 2． 答案：A
解析：∵“1＜x＜2”能推出“x＜2”成立，但“x＜2”不能推出“1＜x＜2”成立，故选A． 3． 答案：D 解析：抽样比为
31?，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴n＝13，故选D． 60204． 答案：B
解析：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， ∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.① f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.② 由①＋②得g(1)＝3，故选B． 5． 答案：A
解析：∵2asin B＝3b，∴2sin Asin B＝3sin B． ∵sin B≠0，∴sin A＝3. 2?π??， ?2?π∴A＝.故选A．
3∵A∈?0,6． 答案：C
解析：利用图象知，有两个交点．故选C．
7． 答案：D
解析：如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的俯视图为ABCD，侧视图为BB1D1D，此时满足其面积为2，故该正方体的正视图应为AA1C1C．又因AC＝2，故其面积为2.
8． 答案：C
解析：可利用特殊值法求解．可令a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．
由|c－a－b|＝1，
22得?x?1???y?1??1，
∴(x－1)＋(y－1)＝1. |c|即为
22
x2?y2，可看成
M上的点到原点的距离，∴|c|max＝|OM|＋1＝
2?1.
故选C．
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9． 答案：D
解析：如图，设AB＝2x，AD＝2y.
由于AB为最大边的概率是
2211，则P在EF上运动满足条件，且DE＝CF＝x，即AB＝EB或AB＝FA． 2292?3?22
∴2x??2y???x?，即4x＝4y＋x，
4?2?72y272
即x＝4y，∴2?. 4x16y7∴?. x4AD2yy7又∵，故选D． ???AB2xx4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10．答案：{6,8} 11．答案：4
解析：l1的普通方程为：x＝2y＋1，l2的普通方程为：x＝a2
y?1aa，即x?y?，∴a＝4. 22212．
答案：9
解析：输入a＝1，b＝2，不满足a＞8，故a＝3；a＝3不满足a＞8，故a＝5；a＝5不满足a＞8，故a＝7；a＝7不满足a＞8，故a＝9，满足a＞8，终止循环．输出a＝9. 13．答案：6
解析：画出可行域，令z＝x＋y，易知z在A(4,2)处取得最大值6.
14．答案：3?1
解析：如图所示，
∵PF1⊥PF2，∠PF1F2＝30°， 可得|PF2|＝c. 由双曲线定义知， |PF1|＝2a＋c，
222
由|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|得 22222
4c＝(2a＋c)＋c，即2c－4ac－4a＝0，
2
即e－2e－2＝0， ∴e?2?23，∴e?1?3. 215．
答案：(1)2 (2)17
解析：(1){a1，a3，a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0，?，0，∴前3项和为2. (2)根据题意知，P的特征数列为1,0,1,0,1，0，?，
则P＝{a1，a3，a5，?，a99}有50个元素，Q的特征数列为1,0,0,1,0,0,1，?， 则Q＝{a1，a4，a7，a10，?，a100}有34个元素， ∴P∩Q＝{a1，a7，a13，?，a97}， 共有1＋
97?1＝17个． 62013 湖南文科数学 第4页
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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