“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考
2017－2018学年第二学期半期考
高二数学（理）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1.复数(60分，在
22)=（ ）1?i
A.i B.?i C.1?i D.1?i 2．设f(x)是可导函数，当h?0时，
f(x0?h)?f(x0)?2则f?(x0)=（ ）
h11A.2 B. C.-2 D. ? 223.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故某奇数是3的倍数.”上述推理（ ）
A.大前提错 B. 小前提错 C.结论错 D. 正确
4.某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A、B、C、D四个区域要清扫，其中A、B、C三个区域各安排一个小组，D区域安排2个小组，则不同的安排方法共有（ ）
A．240种 B.150种 C.120种 D.60种 5.“已知函数f(x)?x?ax?a(a?R)，求证：|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于这个命题时，下列假设正确的是( )
21。”用反证法证明21111且|f(2)|?; B.假设|f(1)|?且|f(2)|?; 22221C.假设|f(1)|与|f(2)|中至多有一个不小于 ;
21 D.假设|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不大于.
226. 由抛物线y?x与直线y?x?2所围成的图形的面积是（ ）．
A.假设|f(1)|?
931 C. 5 D. 267. 已知函数y??xf?(x)的图象如图1所示，其中f?(x)是函数f(x)的导函数，则函数y?f(x)的大致
A. 4 B. 图象可以是( )
A 8.关B
图1 C 于函数
D 1f(x)?x3?9x?36,有下列说法：
3①它的极大值点为-3，极小值点为3；②它的单调递减区间为[-2,2]； ③方程f(x)?a有且仅有3个实根时，a的取值范围是（18，54）. 其中正确的说法有（ ）个
A.0 B.1 C.2 D.3
9.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f?(x)，若f?(x)?f(x)??1,f(0)?2，则不等式
f(x)?ex?1的解集是（ ）
A.(-∞，-1) B.(-∞，0) C.（0,+ ∞） D.（1,+ ∞） 10.有一个偶数组成的数阵排列如下： 2 4 8 14 22 32 … 6 10 16 24 34 … … 12 18 26 36 … … … 20 28 38 … … … … 30 40 … … … … … 42 … … … … … … … … … … … … … 则第20行第4列的数为（ ）
A.546 B.540 C.592 D.598
11．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种.
A.105 B.95 C.85 D.75 12.已知A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)?值范围为（ ）
lnxa与图像上两个不同的交点，则f(x1?x2)的取g(x)?x2x3e22e22e2211 A.(0,) B.(ln,0) C. (ln,) D.(ln,??)
4e4e4e2e2e第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 13．
?0?11?x2dx?_______.
14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我没去过C城市；乙 说：我去
过的城市比甲多，但没去过B城市；丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断甲去过的城市为
15．若三角形的周长为l、内切圆半径为r、面积为s，则有s?为s、内切球半径为r、体积为V，则有V=________. 16.对于曲线f(x)?1lr.根据类比思想，若四面体的表面积24（其中e为自然对数的底数）上任意一点处的切线l1，总存在在曲线ex?11g(x)?ax?x2?x2lnx上一点处的切线l2，使得l1∥l2，则实数a的取值范围是____________.
2
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本题满分10分）
（Ⅰ）已知复数(2k?3k?2)?(k?k)i（k?R）在复平面内所对应的点在第二象限， 求k的取值范围；
（Ⅱ）已知z?4是纯虚数，且|z|?3?2(z?5)?2(z?1)，求复数z.
18．（本题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y?22a?10(x?8)2，其中5?x?8，a为常数．已知销售价格为7元/千克时，x?5每日可售出该商品11千克． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若该商品的成本为5元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
19. （本小题满分12分）
已知函数f(x)?ax2f?()?ln(2x)(a?R)，f?(x)为f(x)的导数.
（1） 若曲线y?f(x)在点(,f())处的切线方程为2x?y?0，求a的值； （2） 已知a??2，求函数f(x)在区间?,?上的最大值与最小值.
2220. （本小题满分12分）
121212?1e???x?1?，设fn(x)为fn?1(x)的导数，n?N. 2x?1（1） 求f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表达式; （2） 猜想fn(x)的表达式，并证明你的结论.
已知函数f0(x)?
21．（本题满分12分）已知函数f(x)?e?ax(x?R)． （Ⅰ）若f(x)的极小值为0，求a的值；
x
（Ⅱ）若对任意x?0,都有f(x)?1?12x恒成立，求实数a的取值范围； 22a?x?2. x22．（本题满分12分）函数f(x)?(2a?1)lnx?（Ⅰ）讨论f(x)的单调性;
（Ⅱ）若f(x)有三个零点,求a的取值范围.
“长汀、连城、上杭、武平、漳平、永定一中”六校联考 2017－2018学年第二学期半期考高二数学（理）试题答案
1—12 ACDDB BACCA AB 13.
2?11?? 14.A 15.sr 16.???,?1?
e?43?2??2k?3k?2?0，17.解：（Ⅰ）依题意得?…………2分
2??k?k?0.?1???k?2，即?2…………4分 ??k?0或k?1.1 ???k?0或1?k?2.…………5分
2（Ⅱ）依题意设z?4?bi(b?R)，…………6分
则z?4?bi(b?R)，z?4?bi(b?R)，…………7分
Q|z|?3?2(z?5)?2(z?1)， ?|4?bi|?5…………8分
?b??3，…………9分 ?z?4?3i…………10分 18．解：（Ⅰ）因为x?7时，y?11，
所以
a?10?11，a?2. …………3分 2（Ⅱ）由（1）知，该商品每日的销售量y?所以商场每日销售该商品所获得的利润
2?10(x?8)2， x?5f(x)?(x?5)[2?10(x?8)2]?2?10(x?5)(x?8)2(5?x?8)…………6分 x?5f?(x)?10[(x?8)2?2(x?5)(x?8)]?30(x?6)(x?8)………8分
于是，当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f?(x) f(x) …………10分
（5,6） ＋ 单调增
6 0 极大值 (6,8) － 单调减 由上表可得，x＝6是函数f(x)在区间(5,8)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝6时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
所以，当销售价格为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．…………12分
121111?f'(x)?2axf'()?，f'()?af'()?2.…………2分
2x2211Q曲线y?f(x)在点(,f())处的切线方程为2x?y?0，
221?f'()??2,从而有?2??2a?2，解得a?2.…………4分
2111（2）Qa??2时，f(x)??2x2f'()?ln(2x)，?f'(x)??4xf'()?，
2x21112从而f'()??2f'()?2得f'()?，…………7分
222366?8(x?)(x?)28x1?8x?3'44?f(x)???==…………9分
3x3x3x?16??6e?''x?f(x)f(x)?0当x??,时，，为增函数；当时，f(x)?0，f(x)为减函数. …………,?????42?24???19. 解：（1）Qf(x)?ax2f'()?ln(2x)， 10分
616)=??ln.………11分
224e2e2111e又f()=?，f()=??1，??1??，
333232e2?fmin(x)=??1…………12分
3(?1)2?2?24?1''f(x)??f(x)20. 解：（1）f1(x)=f0(x)?；=, 12(2x?1)3(2x?1)3(2x?1)2所以fmax(x)=?f(x)?极大值=f((?1)3?22?1?2?3?24f3(x)?f2(x)??,
(2x?1)4(2x?1)4'(?1)4?23?1?2?3?4192f4(x)?f3(x)??.……4分(注：结果没化简不扣分） 55(2x?1)(2x?1)'(?1)n?2n?1n!?(n?N).………6分(注：猜想结果用连乘式表示不扣分） (2)猜想fn(x)=n?1(2x?1)证明如下：
1o当n?1时，由（1）知结论正确；…………7分
(?1)k?2k?1k!.…………8分 2假设n?k（k?N）时，结论正确，即fk(x)?k?1(2x?1)则当n?k?1时，
kk?1k!?(?k?1)?2(?1)k?1(k?1)!?2k'(?1)?2fk?1(x)??fk(x)?==， k?2k?2(2x?1)(2x?1)所以当n?k?1时，结论也正确. …………11分
o?
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