如图10，在?ABC中，点D是BC的中点，DE?AB于点E，DF?AC于点F，且DE?DF. A
（1）求证：?BDE??CDF； （2）求证：AB?AC. 证明：（1）∵点D是BC的中点 ∴BD?CD （1分） ∵DE?AB，DF?AC
∴?DEB??DFC?90? （2分）
在Rt?BDE和Rt?CDF中，BD?CD，DE?DF ∴Rt?BDE?Rt?CDF （5分） （2）∵Rt?BDE?Rt?CDF ∴?B??C （7分) ∴AB?AC （8分）
E B
D 图 10
F C
20、（本小题满分9分）
某初中学校欲向高中一年级推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人（不设弃权票），选出了票数最多的甲、乙、丙三人，投票结果统计如图11；其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，各项成绩如下表所示。
图（2）是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图，请你根据以上信息解答下列问题。
（1）补全图（1）和图（2）； （2）请计算每名候选人的得票数；
（3）若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2:5:3的比例确定三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？
解：（1）30% （2分）
笔试 分数
面试 100 95 90 85 80
75 70 甲
乙
丙 5 / 7
（2）甲的票数是：200?34%?68（票） 乙的票数是：200?30%?60（票）
丙的票数是：200?28%?56（票） （5分）
68?2?92?5?85?3（3）甲的平均成绩x1??85.4
2?5?360?2?90?5?95?3乙的平均成绩x2??85.5
2?5?356?2?95?5?80?3丙的平均成绩x3??82.7 （8分）
2?5?3∵乙的平均成绩最高 ∴应该录取乙 （9分） 21、（本小题满分9分）
如图12，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴、x轴分别交于点A、点B，与双曲线my?交于点C（1，6）、D（3，n）两点，CE?y轴于点E，DF?x轴于点F.
x（1）填空：m?_____，n?______； （2）求直线AB的解析式； （3）求证：AC?DB.
解：（1）m?6，n?2 （2分）
（2）设直线AB的解析式为：y?kx?b（k?0） ∵直线AB过点（1，6）、D（3，2）两点 ?k?b?6?k??2∴?，解得? （4分）
3k?b?2b?8??∴直线AB的解析式为：y??2x?8 （5分）
y A E C D O F B 图 12
x （3）在直线y??2x?8中，令x?0，则y?8，令y?0，则x?4 ∴A（0，8），B（4，0） （6分） ∵CE?y，DF?x
∴?AEC??DFB?90?
∵AE?DF?2，CE?BF?1 （7分）
∴?AEC??DFB?SAS? （8分） ∴AC?DB （9分）
22、（本小题满分12分）
?ABC是等边三角形，D是射线BC上的一个动点（与点B、C不重合），?ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作EF//BC，交射线AC于点F，连结BE.
（1）如图12?1，当点D在线段BC上运动时。①求证：?AEB??ADC；②探究四边形BCFE是怎样的四边形？并说明理由；
（2）如图12?2，当点D在线段BC的延长线上运动时，请直接写出（1）的两个结论是否依然成立；
（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCFE是菱形？并说明理由。
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解：（1）①证明：∵?ABC和?ADE都是等边三角形 ∴AB?AC，AE?AD，?EAD??BAC?60? ∴?EAB??CAD
∴?AEB??ADC （3分）
②四边形BCFE是平行四边形 （4分） 理由：由①得?AEB??ADC ∴?ACD??BAC?60? 又∵?ABC?60?，
∴?EBC??ACD?180? ∴BE//CF （6分） 又∵EF//BC
∴四边形BCFE是平行四边形 （7分）
（2）①?AEB??ADC；②四边形BCFE是平行四边形均成立。（9分） （3）当点D运动到CD?BC时，四边形BCFE是菱形 （10分） 理由：∵?AEB??ADC ∴CD?BE 又∵CD?BC ∴BE?BC
∵四边形BCFE是平行四边形
∴四边形BCFE是菱形 （12分）
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