教材知识特训四 中点问题的常见模型
三角形中线模型
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模型点拨：三角形的中线等分三角形的面积：AD是△ABC的中线，则S△ABD＝S△ACD＝S△ABC（△ABD与
2△ACD是两个等底同高的三角形）.
【例1】如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线. （1）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积.
（2）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长.
【解析】（1）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可求解； （2）先求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求得即可.
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为10，
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∴S△ADC＝S△ABC＝5.
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（2）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6， ∴S△ABC＝12.
∵BD边上的高为3， ∴BC＝8.
三角形中位线模型
模型点拨：多个中点出现或“平行＋中点”（中点在平行线上）时，常考虑或构造三角形中位线.在三角形
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中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC，且DE＝BC，
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△ADE∽△ABC，解决线段之间的相等或比例关系及平行问题.
【例2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC＝BD，E，F分别是AB，CD的中点，EF分别交BD，AC于点G，H.求证：OG＝OH.
【解析】取BC边的中点M，连接EM，FM，则根据三角形的中位线定理，即可证得△EMF是等腰三角形，根据等边对等角，即可证得∠MEF＝∠MFE，然后根据平行线的性质证得∠OGH＝∠OHG，根据等角对等边即可证得.
【解答】证明：取BC边的中点M，连接EM，FM. ∵M，F分别是BC，CD的中点，
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∴MF∥BD，MF＝BD.
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同理，ME∥AC，ME＝AC.
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∵AC＝BD，∴ME＝MF.∴∠MEF＝∠MFE. ∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH. 同理，∠MEF＝∠OHG.
∴∠OGH＝∠OHG.∴OG＝OH.
直角三角形斜边中点模型
模型点拨：直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的一半”可得
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CD＝AD＝BD＝AB来解题，有时有直角无中点，要找中点，可简记为“直角＋中点，等腰必呈现”，此模型作
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用：①证明线段相等或求线段长；②构造角相等进行等量代换.
【例3】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC＝10. （1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数； （2）若EF＝4，求△MEF的面积.
【解析】（1）根据直角三角形的性质得到BM＝FM，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；
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（2）作MN⊥EF于N，根据直角三角形的性质得到FM＝BC＝5，根据等腰三角形的性质、三角形面积公
2式计算.
【解答】解：（1）∵CF⊥AB，M为BC的中点， ∴BM＝FM. ∵∠ABC＝50°，∴∠MFB＝∠MBF＝50°. ∴∠BMF＝180°－2×50°＝80°. 同理，∠CME＝180°－2×60°＝60°， ∴∠EMF＝180°－∠BMF－∠CME＝40°； （2）作MN⊥EF于N.
∵CF⊥AB，M为BC的中点， ∴MF是Rt△BFC斜边上的中线.
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∴FM＝BC＝5.
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同理，ME＝5.∴△EFM是等腰三角形.
∵EF＝4，∴FN＝2.∴MN＝MF2－FN2＝21.
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∴S△EFM＝EF·MN＝×4×21＝221.
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等腰三角形底边中点模型
模型点拨：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，BD＝CD，解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题.
【例4】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，AE＝CF.求证：△DEF是等腰直角三角形.
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【解析】连接CD，由等腰直角三角形的性质得出CD＝BA＝AD＝BD，∠A＝∠DCF＝45°，由SAS证明证
2明△ADE≌△CDF，可得DF＝DE，∠CDF＝∠ADE，即可求得∠EDF＝90°，即可得出结论.
【解答】证明：连接CD. ∵AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝CD，∠A＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠CDB＝90°. 在△ADE与△CDF中， ?AE＝CF，
?
∵?∠A＝∠DCF， ??AD＝CD，
∴△ADE≌△CDF.∴∠ADE＝∠CDF，DE＝DF. ∴∠CDF＋∠CDE＝90°.∴∠EDF＝90°. ∴△DEF是等腰直角三角形.
三角形边的垂直平分线模型
模型点拨：当三角形某一边的垂线过这边的中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到BE＝CE，证明线段间的数量关系.
【例5】如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E.求证：AC＝AB.
【解析】连接BC，由CD垂直于AB，且D为AB中点，即CD所在直线为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到AC＝BC，又E为AC中点，且BE垂直于AC，即BE所在的直线为AC的垂直平分线，同理可得BC＝AB，等量代换即可得证.
【解答】证明：连接BC.
∵CD⊥AB于D，D是AB的中点，即CD垂直平分AB，∴AC＝BC. ∵E为AC中点，BE⊥AC， ∴BC＝AB.∴AC＝AB.
圆中的中点模型
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（点E是弦AB的中点） （点C是AB的中点）
模型点拨：圆中弦（或弧）的中点，考虑垂径定理及圆周角定理.
（1）圆心O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂直构造中位线解题；（2）圆中遇到弦的中点.联想“垂径定理”，出现“四中点一垂直”解决相应问题；（3）圆中遇到弧的中点.利用“一等四等”“垂径定理”解决相应问题.
【例6】如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H. （1）如果⊙O的半径为4，∠BAC＝30°，求CD的长；
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（2）若点E为ADB的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD.
【解析】（1）根据垂径定理求出CD＝2CH，求出OH，根据勾股定理求出CH即可. （2）求出∠ACO＝∠BCD，∠ACE＝∠BCE，相减即可. 【解答】（1）解：∵AB⊥CD， ∴CD＝2CH，∠CHA＝90°. ∵OA＝OC，∠BAC＝30°， ∴∠ACO＝∠BAC＝30°. ∴∠COH＝30°＋30°＝60°.∴∠OCH＝30°.
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∴OH＝OC＝×4＝2.∴CH＝3OH＝23.
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∴CD＝2CH＝43；
（2）证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°＝∠CHB. ∴∠A＋∠B＝∠B＋∠BCH＝90°. ∴∠A＝∠BCD＝∠ACO.
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∵E为ADB的中点，∴∠ACE＝∠BCE. ∴∠ACE－∠ACO＝∠BCE－∠BCD. ∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD.
含30°角的直角三角形模型
【例7】如图，四边形ABCD中，∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，若AB＝2，CD＝8，求AD的长.
【解析】作DE⊥BC于E，作AF⊥DE于F，则∠DEC＝∠AFD＝90°，EF＝AB＝2，由含30°角的直角三角
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形的性质得出DE＝CD＝4，求出DF＝2，∠CDF＝60°，得出∠DAF＝30°，再由含30°角的直角三角形的性质得
2出AD＝2DF＝4即可.
【解答】解：如图，作DE⊥BC于E，作AF⊥DE于F， 则∠DEC＝∠AFD＝90°，EF＝AB＝2. ∵∠C＝30°，
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∴∠ADE＝90°－30°＝60°，DE＝CD＝4.
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∴DF＝DE－EF＝2. ∵∠ADC＝120°， ∴∠CDF＝60°. ∴∠DAF＝30°. ∴AD＝2DF＝4.
请完成《限时训练本》第41～42页作业
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