第7讲 抛物线
[基础达标]
1．已知点A(－2，3)在抛物线C：y＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
4A．－ 33C．－ 4
B．－1 1D．－
2
2
解析：选C.由已知，得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2，0)．又A(－2，3)，3－03
所以直线AF的斜率为k＝＝－. －2－24
2．已知抛物线C1：x＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x＝－2py(p>0)交于A，B两点，
2
2
C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是( )
A．x＝2y C．x＝y
22
B．x＝2y D．x＝
2
2
2
y 2
?p?不妨设A?p，－p?，B(－p，－p)，所以S＝1·2p·p解析：选A.由题意得，F?0，?，??△FAB2?22?2??
＝1，则p＝1，即抛物线C1的方程是x＝2y，故选A.
3．(2019·丽水调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置( )
A．在C开口内 C．在C开口外
B．在C上 D．与p值有关
2
2
p?p??3p?解析：选B.设B?－，m?，由已知有AB中点的横坐标为，则A?，m?，△ABF是边长
2?2??2?
|AB|＝2p的等边三角形，即|AF|＝
?3p－p?＋m2＝2p，222所以p＋m＝4p，所以m＝±3?22?
??
2
?3p?p，所以A?，±3p?，代入y2＝2px中，得点A在抛物线C上，故选B.
2
?
?
4．已知抛物线y＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
2
2
2
2
C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2| D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|
解析：选C.根据抛物线的定义知|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，
222所以|FP1|＋|FP3|＝?x1＋?＋?x3＋?＝(x1＋x3)＋p＝2x2＋p＝2?x2＋?＝2|FP2|.
2??2?2???5. 抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是( )
2
2
ppp?
p??p?
?
p?
A．4 C．43
2
B．33 D．8
2
解析：选C.F(1，0)，直线AF：y＝3(x－1)，代入y＝4x得3x－10x＋3＝0， 1
解得x＝3或x＝.
3
由于点A在x轴上方且直线的斜率为3，所以其坐标为(3，23)．
因为|AF|＝|AK|＝3＋1＝4，AF的斜率为3，即倾斜角为60°，所以∠KAF＝60°， 所以△AKF为等边三角形， 所以△AKF的面积为
32
×4＝43. 4
2
6．(2019·杭州市高考模拟)设倾斜角为α的直线l经过抛物线Г：y＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线Г交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方．若cos α的值为( )
A．C．
|AF|
＝m，则|BF|
m－1
m＋1m－1
m2
B．D．
mm＋1
2m m＋1
解析：选A.设抛物线y＝2px(p>0)的准线为l：x＝－. 2
p
如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足分别为M，N. 在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角α， 由
|AF|
＝m，|AF|＝m|BF|，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(m＋1)|BF|， |BF|
根据抛物线的定义得：|AM|＝|AF|＝m|BF|，|BN|＝|BF|， 所以|AC|＝|AM|－|MC|＝m|BF|－|BF|＝(m－1)|BF|，
|AC|（m－1）|BF|m－1
在直角三角形ABC中，cos α＝cos ∠BAC＝＝＝，故选A.
|AB|（m＋1）|BF|m＋17．已知抛物线y＝2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为________．
2
p3p解析：设M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|＝xM＋＝2p，解得xM＝，代入抛物线方
22
程可得yM＝±3p，则直线MF的斜率为
yM2
pxM－
±3p＝＝±3.
p答案：±3
8．已知抛物线C的方程为y＝2px(p>0)，○·M的方程为x＋y＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与○·M相切，那么p的值为________．
解析：将○·M的方程化为标准方程：(x＋4)＋y＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r＝2，又因为抛物线的准线方程为x＝－，所以?4－?＝2，p＝12或4. 2?2?
答案：12或4
9．若点P在抛物线y＝x上，点Q在圆(x－3)＋y＝1上，则|PQ|的最小值为________． 解析：由题意得抛物线与圆不相交， 且圆的圆心为A(3，0)， 则|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1， 当且仅当P，Q，A三点共线时取等号， 所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小．
2
2
22
2
2
2
2
p?
p?
设P(x0，y0)，则y＝x0，|PA|＝（x0－3）＋y＝x－6x0＋9＋x0＝ 51111当且仅当x0＝时，|PA|取得最小值，此时|PQ|取得最小值－1.
222
答案：
11－1 2
20
2
2020
?x0－5?＋11，??2?4?
2
10．(2019·浙江省名校协作体高三联考)抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，焦点为F.
(1)求抛物线的焦点坐标和标准方程；
(2)P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．
解：(1)抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，设抛物线解析式为y＝2px，把(4，4)代入，得16＝2×4p，所以p＝2，
所以抛物线标准方程为y＝4x，焦点坐标为F(1，0)．
(2)设M(x，y)，P(x0，y0)，F(1，0)，M是PF的中点，则x0＋1＝2x，0＋y0＝2y， 所以x0＝2x－1，y0＝2y，
因为P是抛物线上一动点，所以y0＝4x0， 所以(2y)＝4(2x－1)，化简得y＝2x－1. 所以M的轨迹方程为y＝2x－1.
11．已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标． 解：(1)抛物线y＝2px的准线为x＝－，
2于是4＋＝5，所以p＝2.
2所以抛物线方程为y＝4x. (2)因为点A的坐标是(4，4)， 由题意得B(0，4)，M(0，2)． 4
又因为F(1，0)，所以kFA＝，
33
因为MN⊥FA，所以kMN＝－. 4
222
2
2
22
2
2
pp
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