②设∠CAD＝θ，则∠ABD＝60°－θ，AD＝2cos θ， 在△ABD中，由正弦定理得
3
sin θ， 2
2cos θ23
＝，
sin?60°－θ?sin 30°
化简得cos θ＝4
代入sin2θ＋cos2θ＝1，得sin2θ＝，
727
又θ为锐角，所以sin θ＝，
727
即sin∠CAD＝. 7
一、测量距离问题
例1 (1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝
3
km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝2
60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为 km.
答案
6 4
解析 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°， ∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝
3
km. 2
在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°， 3
2DC6
由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km)．
sin 45°4sin∠DBC
333623
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝. 482428∴AB＝
6
km. 4
6
km. 4
∴A，B两点间的距离为
(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为 m.
答案 900
解析 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°. 又∠PBA＝∠PBQ＝60°， ∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA. 在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)， 故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m. 二、测量高度问题
例2 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为 m.
答案 30＋303
解析 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m， sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝PBAB由正弦定理得＝，
sin 30°sin 15°
1×602
6－22321
×－×＝， 22224
所以PB＝
＝30(6＋2)，
6－24
2＝ 2
所以树的高度为PB·sin 45°＝30(6＋2)×(30＋303)(m)． 三、测量角度问题
例3 已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇．岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
5333??参考数据：sin 38° ≈，sin 22°≈
1414??
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°， 所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，
解得x＝14. 又由正弦定理得
AC·sin∠BAC
sin∠ABC＝＝
BC所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．
素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征．从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养．
5×
3
253＝， 714
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