(2)当x1＜x2＜0或x2＞x1＞0时，f′(x1)≠f′(x2)．
因此，若f(x)在点A、B处的切线重合，则必有x1＜0＜x2. 当x1＜0时，函数f(x)的图象在点(x1，f(x1))处的切线方程为： y－(x21＋2x1＋a)＝(2x1＋2)(x－x1)， 即y＝(2x1＋2)x－x21＋a，
当x2＞0时，函数f(x)的图象在点(x2，f(x2))处的切线方程为： 11
y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x＋ln x2－1.
x2x2
1??x＝2x1＋2， ①
两切线重合的充要条件是?2
??ln x2－1＝－x21＋a， ②1
由①式及x1＜0＜x2得0＜＜2.
x2
1111
－1?－1＝－ln＋?－2?－1. 由①②得a＝ln x2＋??2x2?x24?x2?11
令t＝，则0＜t＜2，且a＝t2－t－ln t.
x241
设h(t)＝t2－t－ln t(0＜t＜2)，则
4
2
11（t－1）－3h′(t)＝t－1－＝＜0(0＜t＜2)
2t2t
22
1
∴h(t)＝t2－t－ln t在区间(0，2)内是减函数．
4则h(t)＞h(2)＝－ln 2－1，∴a＞－ln 2－1. 又当t→0时，h(t)→＋∞.
所以实数a的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 4．解 (1)由题意知b＝1，a2＋b2＝2c2， 又a2＝b2＋c2， 解之得a2＝3，c2＝2， x22
椭圆的标准方程为＋y＝1，
3离心率e＝
26＝. 33
(2)(ⅰ)设直线PQ的方程为x＝my＋n，且P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
??x＝my＋n，联立?2得(3＋m2)y2＋2mny＋n2－3＝0. 2
?x＋3y＝3，?
Δ＝(2mn)2－4(3＋m2)×(n2－3)＝12(m2－n2＋3)＞0(*)
－2mn
y＋y＝，??3＋m
?n－3
??yy＝3＋m.1
2
22
12
2∵kBM·kMN＝
y1－1y2－122
·＝e＝， x1x23
∴3(y1－1)(y2－1)＝2x1x2＝2(my1＋n)(my2＋n)， ∴(2m2－3)y1y2＋(2mn＋3)(y1＋y2)＋2n2－3＝0， n2－3－2mn2
∴(2m－3)2＋(2mn＋3)2＋2n－3＝0， 3＋m3＋m
2
整理得n2－2mn－3m2＝0，
∴(n－3m)(n＋m)＝0，∴n＝－m或n＝3m.
所以直线PQ的方程为x＝my－m＝m(y－1)(舍)或x＝my＋3m＝m(y＋3)， 所以直线PQ过定点，定点M的坐标为(0，－3)．
(ⅱ)由题意，∠PBQ≠90°，若∠BPM＝90°，或∠BQM＝90°，则P或Q在以BM为直径的圆T上，即在圆x2＋(y＋1)2＝4上，
22
??x＋（y＋1）＝4，联立?2解之得y＝0，或y＝1(舍去)． 2
?x＋3y＝3.?
因此P或Q只能是椭圆的左右顶点． 又直线PQ过定点M(0，－3)，∴kPQ＝
－3－0
＝±3. 0±3
故△PBQ可以是直角三角形，此时直线PQ的斜率为±3.
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