专 题练习(五十九)B [第59讲 二项式定理]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1
3x2－?n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) 1．若二项式?x??
3
A．－27C39 B．27C9
4 D．9C4 C．－9C99
1
x3＋2?n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为( ) 2．二项式?x??
A．10 B．3 C．7 D．5
3．若(1－x)n＝1＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋xn(n∈N＋)，且a1∶a3＝1∶7，则a5等于( ) A．56 B．－56 C．35 D．－35
1?n?5x－4．设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，x??
则展开式中x的系数为( )
A．－150 B．150 C．300 D．－300 能力提升
5．在(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中，若2a2＋an－5＝0，则自然数n的值是( ) A．7 B．8 C．9 D．10
a1a2a2 013
6．若(1－2x)2013＝a0＋a1x＋…＋a2013x2013(x∈R)，则＋2＋…＋2 013的值为( )
222
A．2 B．0 C．－1 D．－2
1
7．设a＝?πsinxdx，则二项式?ax－?6展开式的常数项是( )
x???
0
A．160 B．20
C．－20 D．－160
8.?x(1－t)3dt的展开式中x的系数是( )
?0
A．－1 B．1 C．－4 D．4
9． 设x6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a3
＝________.
1
x－?6的展开式中的常数项为________． 10． (1＋x＋x2)??x?
11． 若已知(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a0＋3a1＋5a2＋7a3＋9a4＋11a5的值为________．
12．(13分)设f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数是19(m，n∈N*)． (1)求f(x)展开式中x2的系数的最小值；
(2)对f(x)展开式中x2的系数取最小值时的m，n，求f(x)展开式中x7的系数．
1
难点突破
13．(12分)设fn(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，其中a1，a2，a3，…，an是整数，若fn(2)和fn(3)都能被6整除，求证：fn(5)也能被6整除．
2
专题练习(五十九)B
【基础热身】
291．B [解析] 各项系数之和为(3－1)n＝2n＝512，故n＝9，展开式的通项是Tr＋1＝Cr9(3x)
1－r?18－3r.令18－3r＝0，－?r＝(－1)r×39－rCr则r＝6，故展开式的常数项为(－1)6×33×C69x9＝?x?27C39.
13n－3rx－2r＝Crx3n－5r，若二项式?x3＋?n的2．D [解析] 展开式的通项公式是Tr＋1＝Crnxn
x2??
5r
展开式中含有非零常数项，则3n－5r＝0，即n＝(r＝0,1,2，…，n)，故当r＝3时，此时n
3
的最小值是5.
35
3．B [解析] a1＝－C1n，a3＝－Cn，由a1∶a3＝1∶7，得n＝8，故a5＝－C8＝－56.
1
4．B [解析] 由M＝?5×1－?n＝4n，N＝2n，所以M－N＝4n－2n＝240?2n＝16?n
1??
＝4，
3r3r－
Tr＋1＝(－1)rCr54r·x4－，由4－＝1?r＝2， 4·22则x的系数为(－1)2C252＝150，选B. 4·【能力提升】
n－5n－5n－5n－42，a5．B [解析] ∵a2＝Cn.∴2C2，逐一代入检验，可知n－5＝Cn(－1)n＝Cn(－1)
选B.
1
6．C [解析] 令x＝0得a0＝1，令x＝，
2
a1a2a2013
得a0＋＋2＋…＋2013＝0，
222a1a2a2013
所以＋2＋…＋2013＝－a0＝－1.
222
7．D [解析] a＝?πsinxdx＝(－cosx)?＝2，所以二项展开式的通项公式是Tr＋1＝Cr6
?0?
0
π
1－－－
(2x)6r?－?r＝Cr26r·(－1)rx3r，当r＝3时，即第四项是二项展开式的常数项，该项的6·x??
33
值是－2C6＝－160.正确选项为D.
44x?1－x??1－t?1???3
8．B [解析] ?x(1－t)dt＝－＝－＋，故这个展开式中x的系数是
444??0??
0
C14?－1?
－＝1.
4
9．20 [解析] x6＝[1＋(x－1)]6，故a3＝C36＝20.
1r6－2r，当r＝3时，T＝－C3x－?6的展开式的通项为Tr＋1＝Cr10．－5 [解析] ?6(－1)x46?x?
－2－2
＝－20，当r＝4时，T5＝C46x＝15x，因此常数项为－20＋15＝－5.
11．－807 [解析] (2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，
即(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6.求出各个系数值进行计算． a0＝1，a1＝－12，a2＝60，a3＝－160，a4＝240，a5＝－192. 所以a0＋3a1＋5a2＋7a3＋9a4＋11a5＝－807.
1＋C1＝19， 12．[解答] (1)由题意知Cmn
∴m＋n＝19，∴m＝19－n.
11?19?22222
x2的系数为C2m＋Cn＝C19－n＋Cn＝(19－n)(18－n)＋n(n－1)＝n－19n＋171＝n－2??22323＋， 4
3
1?2323
∵n∈N*，∴当n＝9或n＝10时，x2的系数取最小值??2?＋4＝81. (2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，
732
x7的系数为C710＋C9＝C10＋C9＝156. 【难点突破】
13．[解答] 证明：∵fn(2)＝2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan， fn(3)＝3a1＋32a2＋33a3＋…＋3nan.
∴fn(5)＝fn(2＋3)＝(2＋3)a1＋(2＋3)2a2＋(2＋3)3a3＋…＋(2＋3)nan＝fn(2)＋fn(3)＋6M，
－12＋C2·12n－2＋…＋Cn－1·其中M＝C13n2)an. 2a2＋(C3·33)a3＋…＋(Cn·n
∵fn(2)，fn(3)，6M均能被6整除， ∴fn(5)也能被6整除． 4
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