2020届高三第一轮复习讲义【1】-集合及其运算 (1)

2020届高三第一轮复习讲义【1】-集合及其运算

一、知识梳理

【1】集合的有关概念

1. 集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.

注：在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性. 2. 集合与元素的关系用符号?和?表示.

3. 常用数集的表示符号：自然数集 N；正整数集Z+ 、N*；整数集Z；有理数集Q、实数集R. 4. 常用数的表示： 若n为偶数，则n?2k,k?Z ；若n为奇数，则n?2k?1,k?Z； 若n被3整除，则n?3k,k?Z；若n被3除余1，则n?3k-2,k?Z.

注意：

周期数列:2,3,4,2,3,4,2,3,4……,写通项中会涉及项数的下标都为正整数，所以需要注意对k的限制与写法.通项

?2n?3k?2?公式an??3n?3k?1，k?N?；

?4n?3k?5. 集合的表示法：列举法 ， 描述法 ，图示法. 【注意】区分集合中元素的形式：

如：A?{x|y?x2?2x?1}；B?{y|y?x2?2x?1}；C?{(x,y)|y?x2?2x?1}；D?{x|x?x2?2x?1}；

E?{(x,y)|y?x2?2x?1,x?Z,y?Z}；

yF?{z|y?x2?2x?1,z?}.

x6. 空集是指不含任何元素的集合.（{0}、?和{?}的区别；0与三者间的关系）

注：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 【2】集合间的关系及其运算

1. 子集的定义：若集合A的任何元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，

用符号表示为A?B或B?A.

2. 真子集的定义：若集合A是集合B的子集，并且B中至少一个元素不属于A，则称集合A是集合B的真子集.集合A是集合B的真子集，用符号表示为A?B.

?3. A?B?{x| x?A且x?B}；A?B?{x| x?A或x?B}；

CUA={x| x?A,x?U}.

4. 对于任意集合A,B,则：

①A?B=B?A；A?B=B?A；A?B?A?B； ② A?B=A?A?B; A?B=A?B?A； ③CUA?CUB?CU(A?B);CUB=CU(A?B) .

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【注意】：

?”情况1：符号“?,?”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中体现点与直线（平面）的关系 ； 符号“??，

是表示集合与集合之间关系的，立体几何中体现的是面与直线(平面)的关系. 情况2：条件为AIB??时，要考虑到“极端”情况：A??或B??. 情况3：条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了A??的情况.

情况4： A?B?A?A?B，A?B?A?B?A，再利用上面结论求解.

4．对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2，2?1，2n?12n?2. 两个有限集并集的元素个数公式：Card?A?B??Card?A??Card?B??Card?A?B?． 5．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空 集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.

二、基础检测

?6??ⅱ, x??为_________________________________. 1. 用列举法表示集合?x?x?1? 2. 用描述法表示平面直角坐标系中, 第一象限内所有点组成的集合为___________.

nn 3. 用符号“?”或“?”填空: 0______{y|y??x2?1, x??}; 点(0,1)______{y|y?x2?1, x?￠}.

4. 设全集为R, M?{x|?2?x?2}, N?(??,1), 则CUM?N?_______________. 5.设集合A?{5,log2(a?3)}, 集合B?{a,b}, 若A?B?{2}, 则A?B?_____________. 6. 设集合A?{x|| x|?2, x??}, B?{x|x?a}. 若A?B, 则实数a的取值范围是_____. 三、例题精讲

2例1、已知集合A?a?2,2a?5a,10，又?3?A，求实数a的值；若将条件“?3?A”改为“a?A”，求a?2?的值.

【解法导析】：本例题主要考察集合元素的互异性，从解题方法来看，考察各元素所有可能的取值，同时利用元素的互异性进行检验.

【详解】：若a?2??3，则a??1，此时2a?5a??3，不合题意； 若2a?5a??3，则a??1（舍去）或a??综上述所述，a??2237时，此时a?2??，满足题意。 223。 222将条件“?3?A”改为“a?A”后，若a?a?2，则a无解； 若a?2a?5a，则a?0或a??5，检验可知均满足题意；

2若a?10，则a??10，检验可知均满足题意。

22综上述所述，a?0或a??5或a??10。

2

例2、（1）将下列集合用例举法表示：

①集合A?yy?x2?1,x?2,x?Z，②集合B??x,y?y?x2?1,x?2,x?Z；

????（2）已知集合A??x

?x?a??1?有唯一元素，用列举法表示满足集合A的条件的a的取值集合。 2?x?2?2【解法导析】：对于（1），集合A的元素是y，它满足函数关系式y?x?1在x?2及x?Z时y的取值，也就是函数的值域；集合B的元素是点的坐标，是满足函数关系式y?x?1在x?2及x?Z时对应的点集，前者是数，后者是形，昰集合研究的的两种重要对象。 对于（2），解题关键是将集合的符号语言转移成图形语言，利用函数的图像分析自变量与函数值的对应关系，解题过程中注意不要忽视元素x的隐性限制条件x?2。

【详解】：（1）∵x?2，x?Z，∴x??2、?1、0，对应的y随x依次为3、0、?1， 集合A表示函数y?x?1在x?2，x?Z条件下的值域，∴A??3,0,?1?；

222集合B表示函数y?x?1在x?2，x?Z条件下的点集， ∴B???2,3?,??2,3?,??1,0?,?1,0?,?0,?1??

2x?a1?9?（2）由集合A中元素性质条件将2?1转化为a?x2?x?2??x???x??2。

x?12?4?2??1?9?函数y??x???x??2的图像挖去两点M2?4?可知当a??又x?2???2,?2、N?2,2的抛物线。

???91时，x有唯一值x?； 422，故当a??2时，x有唯一值x?1?2；

2时，x有唯一值x?1?2。

?9?,?2,2?。 ?4?又x??2，故当a?因此满足集合A的条件的a的取值集合为??

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