绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
)x?y?1，B=(x,y│)y?x，则AIB中元素的个数为 1．已知集合A=(x,y│A．3
B．2
C．1
D．0
?22???2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣= A．
1 2 B．2 2 C．2 D．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x+y)(2x-y)的展开式中xy的系数为
5
3
3
A．-80 B．-40 C．40 D．80
x2y2x2y25?1有公共x,且与椭圆?5．已知双曲线C：2?2?1 (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y?2ab123焦点，则C的方程为
x2y2??1 A．
8106．设函数f(x)=cos(x+
x2y2??1 B．
45x2y2??1 C．54x2y2??1 D．
43?)，则下列结论错误的是 3
B．y=f(x)的图像关于直线x=D．f(x)在(
8?对称 3A．f(x)的一个周期为?2π C．f(x+π)的一个零点为x=
? 6?,π)单调递减 27．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为
A．5
B．4
C．3
D．2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A．π
B．
3π 4 C．
π 2 D．
π 49．等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则?an?前6项的和为 A．-24
B．-3
C．3
D．8
x2y210．已知椭圆C：2?2?1，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线
abbx?ay?2ab?0相切，则C的离心率为
A．6 3
2B．3 3x?1 C．
2 3 D．
1 311．已知函数f(x)?x?2x?a(eA．??e?x?1)有唯一零点，则a=
C．
uuuruuuruuur12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP=? AB+?AD，
则?+?的最大值为 A．3
B．22
C．5
D．2
1 2 B．
1 31 2 D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?x?y?0?13．若x，y满足约束条件?x?y?2?0，则z?3x?4y的最小值为__________．
?y?0?14．设等比数列?an?满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________． ?x?1，x?0，115．设函数f(x)??x则满足f(x)?f(x?)?1的x的取值范围是_________。
2?2，x?0，16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边
AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27,b=2． （1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD? AC,求△ABD的面积．
18．（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 天数 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 19．（12分）
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值． 20．（12分）
已知抛物线C：y=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程． 21．（12分）
已知函数f(x) =x﹣1﹣alnx． （1）若f(x)?0 ，求a的值；
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