2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（全国卷3,含答案）

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，(1+)(1+1211)K(1+)﹤m，求m的最小值． 2n22（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

?x?2+t,在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为?（t为参数），直线l2的参数方程为

y?kt,??x??2?m,?．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （m为参数）m?y?,?k?（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-2=0，M为l3

与C的交点，求M的极径．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│． （1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x–x +m的解集非空，求m的取值范围．

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2020年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题正式答案

一、选择题

1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A 二、填空题

（-13. -1 14. -8 15.

三、解答题 17.解：

1，+?） 16. ②③ 4（1）由已知得 tanA=?3，所以A=在 △ABC中，由余弦定理得

2? 32?，即c2+2c-24=0 3解得c??（舍去），6c=428?4?c2?4ccos（2）有题设可得?CAD=?2，所以?BAD??BAC??CAD??6

1?ABgADgsin26?1故△ABD面积与△ACD面积的比值为 1ACgAD2又△ABC的面积为18.解：

（1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知

P?X?200??2?16?0.2 9036?0.4 9025?7?4?0.4. 901?4?2sin?BAC?23，所以?ABD的面积为3. 2

P?X?300??P?X?500??因此X的分布列为

X P 200 300 500 0.2 0.4 0.4 ⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500 当300≤n≤500时，

若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n

若最高气温位于区间?20，,25?，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n; 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当200≤n?300时，

若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;

若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n; 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n 所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。 19.解：

（1）由题设可得，?ABD??CBD,从而AD?DC 又?ACD是直角三角形，所以?ACD=900 取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO 又由于?ABC是正三角形，故BO?AC 所以?DOB为二面角D?AC?B的平面角 在Rt?AOB中，BO2?AO2?AB2又AB?BD,所以BO2?DO2?BO2?AO2?AB2?BD2，故?DOB=900

所以平面ACD?平面ABC（2）

由题设及（1）知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，

uOAuur的方向为x轴正方向，uOAuur为单位长，

建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则

A(1，0，0),B(0，3，0),C(?1，0，0),D(0，0，1)

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的

1，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距2?131?离的，即E为DB的中点，得E?0，，?.故

?22?2??uuuruuuruuur?31?AD???1，0，1?，AC???2，0，0?，AE???1，，?

??22??uuur??x?z?0?ngAD?0，??即?设n=?x,y,z?是平面DAE的法向量，则?uuu r31y?z?0?ngAE?0，??x??22?可取n=?1,???3?,1? ?3?uuur??mgAC?0，设m是平面AEC的法向量，则?uuu同理可得m?0,?1,3 r??mgAE?0，??则cosn,m?ngm7? nm77 7所以二面角D-AE-C的余弦值为20.解

（1）设A?x1,y1?,B?x2,y2?,l:x?my?2

?x?my?22由?2可得y?2my?4?0,则y1y2??4 ?y?2x又x1=yy,x2=2,故x1x2=22212?y1y2?42=4

因此OA的斜率与OB的斜率之积为所以OA⊥OB

故坐标原点O在圆M上.

y1y2-4g==-1 x1x24