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即：
1.4 常用的判定或证明线面垂直的依据 ⑴ 利用定义，用反证法证明。 ⑵ 利用判定定理证明。
⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。 ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面。 ★1.5 三垂线定理及其逆定理
⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。
如图：
⑵ 三垂线定理及其逆定理
已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面 α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则垂直斜线。 ② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直斜线则垂
图2-7 斜线定理
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直射影。
⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直； ② 作出和证明二面角的平面角； ③ 作点到线的垂线段。 2 面面斜交和二面角
2.1 二面角的定义：两平面α、β相交于直线l，直线a是α内的一条直线，它过l上的一点O且垂直于l，直线b是β内的一条直线，它也过O点，也垂直于l，则直线a、b所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β。 2.2 二面角的范围：∠α-l-β ∈[0°,180°] 2.3 二面角平面角的作法：
⑴ 定义法：证明起来很麻烦，一般不用； ⑵ 三垂线法：常用方法；
⑶ 垂面法：常用于空间几何体中的二面角。 3 面面垂直
图2-9 面面垂直 3.1 面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β。
图2-8 三垂线定理
3.2 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 即：
3.3 面面垂直的性质定理
⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°； ⑵
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⑶ ⑷
三 立体几何主要难点 1 三种角的对比
角的类型 异面直线 所成角 范围 解题步骤 图2-11 面面垂直性质3 图2-10 面面垂直性质2
0°～90° 1找：利用平移法找出异面直线所成角； ⑴ 固定一条直线，平移另一条直线， ⑵ 将两条直线都平移至一特殊位置。 2证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行； 3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。 直线与平面 0°～90° 1找：作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理； 所成角 2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直； 3计算：通过解三角形，求出线面角的角度。 二面角的 平面角 0～π 1作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角； 2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法； 3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。 大全
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2 立体几何知识网络
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