课时分层作业(十七) 函数的单调性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1
1．函数y＝的单调递减区间是( )
xA．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
11
C [函数y＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函数的图象可知y＝在区间(－∞，
xx0)和(0，＋∞)上分别是减函数．]
2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有( ) 1A．a≥ 21C．a> 2
1B．a≤
21D．a<
2
1
D [函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a<.故选D.]
23．下列函数中，在(0,2)上是增函数的是( ) 1
A．y＝
xB．y＝2x－1 D．y＝(2x－1)
2
C．y＝1－2x
1
B [对于A，y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减；对于B，y＝2x－1在R上单调
x1??2
递增；对于C，y＝1－2x在R上单调递减；对于D，y＝(2x－1)在?－∞，?上单调递减，在
2??
?1，＋∞?上单调递增．故选B.]
?2???
4．函数f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的递增区间依次是( ) A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞) C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)
C [分别作出f(x)与g(x)的图象得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，
选C.]
5．f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，a∈R，则( ) A．f(a)＜f(2a) C．f(a＋1)＜f(a)
2
B．f(a)＜f(a) D．f(a＋a)＜f(a)
2
2
C [因为a∈R，所以a－2a＝－a与0的大小关系不定，无法比较f(a)与f(2a)的大小，故A错；而a－a＝a(a－1)与0的大小关系也不定，也无法比较f(a)与f(a)的大小，故B错；
2
2
?1?322
又因为a＋1－a＝?a－?＋＞0，所以a＋1＞a.又f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，故有
?2?4
f(a2＋1)＜f(a)，故C对；易知D错．故选C.]
二、填空题
2
?1?2
6．如果二次函数f(x)＝x－(a－1)x＋5在区间?，1?上是增函数，则实数a的取值范围
?2?
为________．
(－∞，2] [∵函数f(x)＝x－(a－1)x＋5的对称轴为x＝函数，
∴
2
a－1
?1?且在区间?，1?上是增
2?2?
a－11
2
≤，即a≤2.]
2
1
在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________． x＋1
1
的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)， x＋1
7．若函数f(x)＝
[－1，＋∞) [函数f(x)＝
又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.]
8．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．
①y＝a＋f(x)(a为常数)； ②y＝a－f(x)(a为常数)； ③y＝
1
fx；④y＝[f(x)].
1
均为递增函数，故选2
②③ [f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0时，－f(x)，②③.]
三、解答题
fx9．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，解不等式f(x)＞f(8(x－2))．
x>0，??
[解] 由f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数得，?8x－2>0，
??x>8x－2，
12
10．证明：函数f(x)＝x－在区间(0，＋∞)上是增函数．
16
解得2＜x＜.
7
x[证明] 任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1 1?11?22 则f(x1)－f(x2)＝x1－－x2＋＝(x1－x2)?x1＋x2＋?. x1x2 ?x1x2? ∵0 1 x1x2 >0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) 12 ∴函数f(x)＝x－在区间(0，＋∞)上是增函数． x 11．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数y＝ax＋bx在(0，＋∞)上( ) A．单调递增 C．先增后减 B．单调递减 D．先减后增 bx2 B [由于函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上均为减函数，故a<0，b<0，故二次函数f(x)＝ax＋bx的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－<0，故函数y＝ax＋bx在(0，＋∞)上 2a单调递减．] 12．(多选题)下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有的是( ) 2 A．f(x)＝－ 2 bxb2 fx1－fx2 ＞0” x1－x2 xB．f(x)＝－3x＋1 1 D．f(x)＝x－ C．f(x)＝x＋4x＋3 2 xACD [由题意知，f(x)为(0，＋∞)上的增函数．] a－3x＋5，x≤1，?? 13．已知函数f(x)＝?2a，x>1??x围是________． 是R上的减函数，则实数a的取值范 a－3<0，?? (0,2] [依题意得实数a满足?2a>0， ??a－3＋5≥2a， 解得0 14．(一题两空)若f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x，y＞0，满足f??＝ ?x? ?y? f(x)－f(y)． (1)f(1)的值为________． ?1?(2)若f(6)＝1，则不等式f(x＋3)－f??＜2的解集为________． ?3? 0 {x|－3＜x＜9} [(1)在f??＝f(x)－f(y)中， 令x＝y＝1， 则有f(1)＝f(1)－f(1)， ∴f(1)＝0. (2)∵f(6)＝1， ?x??y? ?1?∴f(x＋3)－f??＜2＝f(6)＋f(6)， ?3? ∴f(3x＋9)－f(6)＜f(6)， 即f? ?x＋3?＜f(6)． ??2? ∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数， x＋3??2＞0，∴?x＋3??2＜6， 解得－3＜x＜9. 即不等式的解集为{x|－3＜x＜9}．] 15．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5. (1)求f(x)的解析式； (2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围． [解] (1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0)． 从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝ax＋ab＋b＝16x＋5， ??a＝16，所以? ?ab＋b＝5，? 2 2 ??a＝4， 解得? ?b＝1? a＝－4，?? 或?5 b＝－?3? (不合题意，舍去)． 所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1. (2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x＋(4m＋1)x＋m，g(x)图象的对称轴为直线x4m＋1＝－. 8 4m＋19 若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1，解得m≥－，所以实数m的取值范围 84 2 ?9?为?－，＋∞?. ?4?
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