。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 专题05 平面向量
1. 【2009高考北京文第2题】已知向量a?(1,0),b?(0,1),c?ka?b(k?R),d?a?b，如果c//d，那么
A．k?1且c与d同向 B．k?1且c与d反向 C．k??1且c与d同向 D．k??1且c与d反向 【答案】D
2. 【2010高考北京文第4题】若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是( )
A．一次函数且是奇函数 B．一次函数但不是奇函数 C．二次函数且是偶函数 D．二次函数但不是偶函数 【答案】A 【解析】
试题分析：∵a⊥b，∴a·b＝0.又∵|a|≠|b|，∴b－a≠0.∴f(x)＝(x－1)a·b＋xb－xa＝xa·b＋(b－a)x－a·b＝(b－a)x.
3. 【2014高考北京文第3题】已知向量a??2,4?，b???1,1?，则2a?b?（ ） A.?5,7? B.?5,9? C.?3,7? D.?3,9?
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1
【答案】A
rrr【解析】因为2a?(4,8)，所以2a?b?(4,8)?(?1,1)=（5，7），故选A.
考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.
4. 【2005高考北京文第4题】若|a|?1,|b|?2,c?a?b，且c?a，则向量a与b的夹角为( )
（A）30° （B）60° （C）120° （D）150° 【答案】C
5. 【2015高考北京，文6】设a，b是非零向量，“a?b?ab”是“a//b”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】a?b?|a|?|b|cos?a,b?，由已知得cos?a,b??1，即?a,b??0，a//b.而当a//b时，?a,b?还可能是?，此时a?b??|a||b|，故“a?b?ab”是“a//b”的充分而不必要条件，故选A.
【考点定位】充分必要条件、向量共线.
6.【2017高考文数第7题】设m, n为非零向量，则“存在负数?，使得m=λn”是“m·n<0”
2
的
（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件 【答案】A 【解析】
试题分析：若???0，使m??n，则两向量m,n反向，夹角是180?，那么
（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
m?n?mncos180???mn?0；若m?n?0，那么两向量的夹角为?90?,180??，并
不一定反向，即不一定存在负数?，使得m??n，所以是充分而不必要条件，故选A. 【考点】向量，充分必要条件
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若p?q,q??p，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p?q，那么p，q互为充要条件；若p??q,q??p，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知p:x?A,
q:x?B,若A?B，那么p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若
?A?B，那么p，q互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）
命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将p是q条件的判断，转化为?q是?p条件的判断.
4?b=?11，?．若向量b?(a+?b)，则实7. 【2007高考北京文第11题】已知向量a=?2，，数?的值是 【答案】-3
【试题分析】已知向量a??2,4?,b??1,1?，向量a??b??2??,4???，b?a??b，则2???4???0，实数???3.
【考点】向量的坐标运算，向量垂直与向量坐标的关系
8. 【2006高考北京文第12题】已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a≠±b,那么a+b与a-b的夹角的大小是 . 【答案】
．
??? 2 3
9. 【2006高考北京文第9题】若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a的值等于 . 【答案】4
【解析】由A、B、C三点共线知AB∥AC,即(a-2,-2)∥(-2,2),则2(a-2)=4,∴a=4. 10. 【2011高考北京文第11题】已知向量a?(3,1),b?(0?1),c?(k,3)。若a?2b与
c，共线，则k= .
【答案】1
【解析】：a?2b?(3,3)由a?2b与c共线得3?3?3k?k?1
11. 【2012高考北京文第13题】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则
DE?CB的值为________，DE?DC的最大值为________．
【答案】1 1 【解析】
试题分析：DE·CB＝(DA＋AE)·CB＝(CB＋AE)·CB＝|CB|＋AE·CB．
2
因为AE⊥CB，所以AE·CB＝0． 所以DE·CB＝1＋0＝1．
2
DE·DC＝(DA＋AE)·DC＝DA·DC＋AE·DC＝λ|DC|2(0≤λ≤1)，
∴DE·DC的最大值为1．
12．【2008高考北京文第11题】已知向量a与b的夹角为120，且a?b?4，那么ab的值为 ． 【答案】?8
4
【解析】a?b?|a|?|b|?cos120?4?4?(?)??8.
13. 【2016高考北京文数】已知向量a=(1,3),b?(3,1) ，则a与b夹角的大小为_________. 【答案】30
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考点：平面向量数量积
【名师点睛】由向量数量积的定义a?b?|a|?|b|?cos?(?为a，b的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.
14.【2017高考北京文数第12题】已知点P在圆x?y=1上，点A的坐标为(?2,0)，O为原点，则AO?AP的最大值为_________． 【答案】6
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【考点】向量数量积，向量与平面几何
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为AO是确定的，所以根据向量数量积的几何意义：若AO?AP最大，即向量AP在AO方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点P在圆与x轴的右侧交点处时最大，从而根据几何意义直接得到运算结果为2?3?6.
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