工程力学第六章答案 梁的变形

1q(l?x)211当q?q0 时，梁上某一段AC与刚性面接触，C点端曲率为??2?(x)rEI解得 x?l?,

2EI qr(2) B点的挠度包括三部分，即 yB?(yB)1?(yB)2?(yB)3

x212EI2 ① (yB)1 为C点的挠度(yB)1??(l?)

2r2rqr ② (yB)2为C点的转角引起B点的挠度(yB)2?12EI2EI (l?)rqrqr ③ (yB)3为CD段当作悬臂梁在q作用下B点的挠度 (yB)3?qEI(l?x)4? 28EL2qr ④ 以上三种挠度叠加，即为点B的挠度yB?1EI(?l2) 2rqr5-4-9 由于AB段平直，所以B点的弯矩、转角及挠度均等于零。B点和C点与刚性平面接触，简化为铰支座，则BCD端简化为外伸臂梁。在该梁上作用有均布荷载q(自重)但要满足

?B?0的条件，如图（a）所示。求θB时，可取BC为简支梁，而CD上的均布力向C点

平移得一集中力qa和一力偶矩M0? ?B?(?B)q?(?B)M0解出 b?

12qa，如图（b）所示。根据θ=0的条件求解b，即 21(qa2)?b3qb??2?0 2EI6EI2a

B C D

B b qa2/2

5-4-10 这是一个在外力作用及有支座位移下的一次超静定问题。将C约束解除，用约束力

ql4RC代替，成为基本结构。变形协调条件是yC????（向上）。

96EI3RCl3ql4?在q和RC共同作用下求出yC? ，并将其代入变形协调方程，解出48EI24EIRC?1115 ql(?)，然后根据平衡方程求出RA、RB即 RA?ql(?),RB?ql(?). ， 。

122485-4-11 梁在不均匀温度的变化下，发生弯曲和伸长变形，由于t2>t1，所以轴线以上伸长少，而轴线以下伸长大，使梁发生凸向下的弯曲变形，B点有向上的挠度，设为(ΔB) t 。在梁的自由端上作用力偶矩M0 后，能使变形展直，B点又回到原水平位置，设M0作用下B点的挠度为(?B)M0。由(ΔB) t= (?B)M0，变形条件可以解出M0值。其中

M0l2a(t2?t1)l2a(t2?t1)EI(?B)t?,(?B)M0?，代入变形条件中解得M0?。

2h2EIh5-4-12 （1）当杆BC的EA= 时，杆不变形，将BC杆切短，用RBC代替其约束，取基本结构。变形协调条件为yB=yc(↓) ，解出RBC（2）当EA?RBCl35Pl35P?,则yC?yB?? 。 323EI96EIEA 时，杆BC有伸长变形，同样将BC杆切段，用RBC 代替，取基本结构。l2lRBC?RBCl32这时的变形协调条件为 yC?yB??lBC,?lBC? ，解出 ?EA2EIRBC5P25Pl3?,yC?56336EI。

5-4-13 这是一个二次超静定问题。若不计杆的轴向变形，则结构无水平约束力，将该问题

简化为B铰只有一个垂直约束力为未知数的结构。在B铰处切断，用约束力RB代替，取出基本结构，并根据B点的变形协调条件建立补充方程(yB)AB=(yB)BC

(yB)AB

(yB)BCq?44RB?44??,8EI3EI 432?P?2?R?4P?2??B????2?3EI?3EI2EI?? 代入变形协调方程求出 R=8.75kN

5-4-14 因为AB梁点的挠度大于Δ，因此在P作用下AB梁与CD梁共同受力，成了一次超静定问题。若将两梁拆开，约束反力R分别作用在梁上，则成为基本结构。变形协调方程为(yB)AB?(yB)CD?? 将 (yB)AB(P?R)l3Rl3?,(yB)CD? ，

3EI48EI代入变形协调方程解出R?1648EIP??，并由平衡条件求个梁的约束反力， 1717l3RC?RD?R,RA?P?R,MA?(P?R)l. 211q0x2?q0x3 26l5-4-15 （1）将A端的约束反力用MA 、RA表示； （2）列出弯矩方程M(x)?MA?RAx?（3）代入挠曲线近似微分方程并积分；

(4)根据A端的位移边界条件求出 C=0,D=0 ;

(5)根据B端的边界条件，即 x=l 时，M=0 （即 y” =0）；x=l时，yB=0解出

MA??12q0l2,RA?q0l ； 155q0x2(?4l3?8l2x?5lx2?x3) 。 (6)最后的出初始挠度曲线方程 y??120lEI5-4-16 结构为对称，而外力M0为反对称。若将结构取出一半（如取左边一半），则成为A端为固定端、C端为铰支座的单跨超静定梁。在C截面上作用有力偶矩

M0，AC段的长度2为

l。只要解出AC梁的挠度方程即可，CB段的挠度曲线与AC段组成反对称的挠度曲线， 21M02M03(x?x). 4EI2ly(x)??5-4-17 若不计梁AB的轴向变形，这是一个二超静定问题。将A固定端解除用约束反力RA、MA =0,代替，并由A点的θA=0、y=0的变形条件建立两个补 充方程，并令MA=0，求出x?l。3