量子力学与统计物理习题解答（理论物理导论）北理工 李卫 修订版

量子力学与统计物理习题解答 第一章

?Axe??x1. 一维运动粒子处于?(x)???0的状态，式中?>0，求

（1）归一化因子A； （2）粒子的几率密度；

（3）粒子出现在何处的几率最大？ 解：（1）

(x?0)

(x?0)?????(x)?(x)dx?A2?2?2?x?2??0x2e?2?xdx

令 ??2?x，则

A?0xe

A2?2??dx?3??ed?8?0A2?3?(3)8? 2A?3?2!8?A2?34? 由归一化的定义

??????(x)?(x)dx?1

3/2 得 A?2? （2）粒子的几率密度

P(x)??(x)?(x)?4?xe （3）在极值点，由一阶导数

?32?2?x

dP(x)?0 dx 可得方程

x(1??x)e?0 而方程的根

x?0；x??；x?1/? 即为极值点。几率密度在极值点的值

?2 P(0)?0；limP(x)?0；P(1/?)?4?e

x???2?x由于P(x)在区间(0，1/?)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/?，?)的一阶导数小于零，是减函数，故几率密度的最大值为4?e，出现在x?1/?处。

2. 一维线性谐振子处于状态

?(x,t)?Ae11??2x2?i?t22?2

（1）求归一化因子A；

（2）求谐振子坐标小x的平均值；

（3）求谐振子势能的平均值。 解：（1）

??????dx?A?2????2e???022xdx

22 ?2A ??e??xdx

??0A2? ?

? 由归一化的定义

2A2?e??d?

2???????dx?1

得 A? （2） x?? ??22????xP(x)dx?A2?xe????xdx

因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故 x?0 （3）U??????U(x)P(x)dx

12???2x2??kxedx ??2?k??2??2x2??xedx

?0?k?2?k??0?2e??d?

2??1?? ??2??2?2??e?ed???00????2?k1???2?2ed? ?0??2??2k?2k4?2?1?

?22

代入，可得

将k???2、?? U???11???E0 42是总能量的一半，由能量守恒定律

E0?T?U

T?E0?U?1E0?U 2可知动能平均值

和势能平均值相等，也是总能量的一半。

3．设把宽为a的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有

?0,U(x)????,????n(x)?????(|x|?a/2)

(|x|?a/2)2n?cosx,aa2n?sinx,aan?1,3,5,?|x|?a/2

n?2,4,6,?试通过具体解定态薛定谔方程，证明势阱中粒子的波函数为

粒子的能量为

证明：势函数与时间无关，是定态问题。

由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外

?(x)?0,|x|?a/2

在阱内，波函数满足定态薛定谔方程

?2?22En?n,2?a2n?1,2,3,4,?

?2????(x)?E?(x)2?|x|?a/2

上式可变形为 令k?2???(x)?2?E?(x)?0 2?

该方程的通解为

?(x)?Asinkx?Bcoskx

在边界上，波函数应满足连续性条件，即

2?E，则方程化为 ?2???(x)?k2?(x)?0

?(x)x??a/2?0?(x)x??a/2?0?Asin

将通解代入有

kaka?Bcos?022 kakaAsin?Bcos?022由此可得

A和B不能同时为零，否则解无意义。A?0，则必有

ka?02 kaBcos?02Asinsinkan??0?kn?,2akan??0?kn?,2an?2,4,6,?

B?0，则必有

cosn?1,3,5,?

由此可得方程的解为

n??Bcosx,n?1,3,5,??a ?n(x)??n??Asinx,n?2,4,6,?a?由归一化条件 可知 解得

A?B?2/a

故在阱内的波函数为

??????n?ndx?1

?n??A2??sinx?dx?A2a/2?1

?a/2a??a/22n???B2??cosx?dx?B2a/2?1

?a/2a??a/22

????n(x)?????2n?cosx,aa2n?sinx,aan?1,3,5,?

n?2,4,6,?粒子的能量

k2?2?2?22En??n,22?2?an?1,2,3,4,?

波函数的两个表达式还可统一为一个表达式

?n(x)?2n?asin(x?),aa2n?1,2,3,?

书中例题与习题的不同是将坐标原点取在势阱的左边界上，其解为

2n?sinx,n?1,2,3,? aaa因此只要作坐标平移代换x?x1?，将坐标原点移到势阱中心，立即可得到习题的结果。

2224．带电荷q的一维谐振子在外电场E作用下运动，U(x)?(??x/2)?qEx，试证明

?n(x)?粒子的能量和波函数分别为

1?q2E2? En??n?????22?2????n(x)?Nne12??2x12Hn(?x1),x1?x?qE??2

证明：势函数与时间无关，是定态问题。定态薛定谔方程为

?2?1?????(x)????2x2?qEx??(x)?E?(x) 2u?2?上式可改写为

?21qEq2E2q2E222????(x)???(x?2x?24)?(x)??(x)?E?(x) 222u2????2??