在球内，波函数满足定态薛定谔方程
?2?1?2?1?2? ?(r)?L???E? 222?2??r?r?r?r??2??0，方程变为常微分方程 因角动量为零，即L
?21d2d?(r)??E? 2?r2drdr上式可改写为
?2d2(r?) ??Er?
2?dr2令f(r)?r?，代入得
?2d2f(r)??Ef(r) 22?drd2f(r)2?E?2f(r)?0 2dr?2进一步改写为 令k?
2?E，代入得标准二阶常微分方程 ?2d2f(r)2?kf(r)?0 2dr方程的通解为
f(r)?Asin(kr)?Bcos(kr)
在球心，由波函数?有限性可知f(0)?0（注意?(0)?0），即
得
在边界上，由波函数连续性可知 ?(a)?0 即 得 波函数
Asin(k0)?Bcos(k0)?0 B?0
Asin(ka)?0
n?k?n?1,2,?
an?f(r)?Asinrn?1,2,?
a1n??(r)?Asinrn?1,2,?
ra由归一化条件 可得
???00a?2?0|?|2r2sin?drd?d??4?A2?sin20an?rdr?2?aA2?1 aA?1 2?a12?asinn?ra r波函数
?(r)?
能量
n?ra1an?r?sinca2?an??2?2n2 E?2?a2?1a2?an?sinn?ra
n?1,2,?在球心r?0处，波函数
?(0)?
12?a1?2?aan?rlimsincn?r?0a
an?
3．氢原子处于基态，求电子出现在距离氢核二倍玻尔轨道半径a0以外的几率。 解：
P|R10|2r2dr 10(r)??2a0? ?4?2?2r/a0redr 3?2a0a03
4?a0???2? ?3?????ed?
a0?2??412????? ??(?e?2?e?2e)?4
212?4 ???{(?4)?2?(?4)?2}e
2?4 ?13e
4．分别求出氢原子处于2s态(n?2,l?0)和2p态(n?2,l?1)时,电子径向分布几率取最大值时的r值。这两个r值是否等于相应的波尔轨道半径?
解：2s态径向分布几率
?1??r?2?a022 P20(r)?|R20|r???2a????2?a??re
0??0??dP令 20?0
drrr????a0r??r26ra02???2?r?r?4e?(2a?r)(r?6ar?4a)e?0 即 ?0002????a0??a0a0a0??得
32rr1?0 r2?2a0
r3?(3?5)a0
r4?(3?5)a0 r5??
因 因
P20(r1)?P20(r2)?P20(r5)?0 ??(r3)?0,P20??(r4)?0 P20所以r1、r2和r3不是最大点。
r3和r4是极大值点，但P20(r3)?P20(r4)，所以r3?(3?5)a0是最大值点。
5．求出氢原子p态电子（l=1）当m=1时的角分布几率，所得结果与旧量子论关于电子
沿确定轨道运动的概念是否一致？ 解：
2P11(?)?|Y11(?,?)|?33sin?ei??sin2? 8?8?2 若电子沿确定轨道运动，即沿确定空间曲线运动，则电子只应出现在该曲线上。但上式
表明角分布几率与?无关，电子不是分布在曲线上，而是分布在空间一个相当宽的区域。故电子不是沿确定轨道运动，与旧量子论概念不一致。
第五章
1. 一维非线性谐振子处于势场U(x)?kx/2?bx?cx,bx?cx??kx/2，求该非线性谐振子基态的一级近似能量。
234342??H?0?H?? 解：H无微扰项
?0?kx2/2 H为线性谐振子，其基态波函数
?0(x)?3???12e?422x
微扰项
???bx?cx H基态的一级近似能量
?*???H00????0E0H??0dx
?? ?b??????x3e??22xdx?c??????x4e??22xdx
因被积函数是奇函数，第一项积分
b??????x3e??22xdx?0
因被积函数是偶函数，第二项积分
c???
???x4e??
22xdx??2c??2c??0x4e???22xdx d?
?4??0?e4??2
??2c?4?3c 44??3? 8??即 E03c 4?4
3. 有两个谐振子组成的耦合谐振子，其能量算符
1222??1(p?12?p?2H)???0(x12?x2)??x1x2
2?2?。试证： 式中??x1x2为两谐振子的相互作用能量，可视为H（1）此耦合谐振子的零级近似能量
E0?(n1?n2?1)??0?(N?1)??0 n1,n2?0,1,2,?;N?n1?n2?1,2,?
（2）此耦合谐振子第一激发态（N = 1）能量的一级修正
E?????/(2??0)
证明：
??H??H?? （1）H 微扰项
0?????xx H12 无微扰项
122121221212222?0?1(p?12?p?2?1???0x1)?(p?2???0x2)H)???0(x1?x2)?(p2?22?22?2?01?H?02?H 无微扰时的定态薛定谔方程
?0?(x,x)?H?01?(x,x)?H?02?(x,x)?E0?(x,x) H12121212?因算符H01?仅与x1有关、H02仅与x2有关，可分离变量，令
?(x1,x2)??(x1)?(x2)
则前述方程可分离为两个独立的方程
?01?(x)?E01?(x) H11?02?(x)?E02?(x) H22 E?E?E
每一个独立的方程描述了一独立的一维谐振子，其能量
00102
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