离散习题代数系统部分答案1

《离散数学》代数系统

1. 以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？

求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元. 1) P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集.

构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。 2) A={a,b,c}，*运算如下表所示：

构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.

2. 设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以

定义多少不同的具有交换律的二元运算？

24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算 3. 设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.

1) 列出B的元素. 2元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={IA，EA} 2) 给出代数系统V=的运算表.

3) 求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元. 幺元EA、零元IA；只有EA可逆，其逆元为EA. 4) 说明V是否为半群、独异点和群？ V是为半群、独异点，不是群

4. 设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换

律.

1) 给出关于*运算的一个运算表.

其中表中？位置可以是a、b、c。 2) *运算是否满足结合律，为什么？ 不满足结合律；a*（b*b）=c ≠（a*b）*b=b 5. 设是一个代数系统。

*是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b(·和+为数集上的乘法和加法). 证明：: 是独异点.

6. 如果是半群，且*是可交换的.

证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b. (a*b)*(a*b)

= a*(b*a)*b 结合律 = a*( a*b)*b 交换律 = (a* a)*(b*b) = a*b.

7. 设是一个群,则?a,b,c∈S。 试证明： 群G中具有消去律,即成立: 如果

a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c. （见课件） 8. 设是群，a∈G .

现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，?x,y∈G .

证明：也是群 .

证明：显然⊙是G上的一个二元运算。

?x,y,z∈G，(x⊙y)⊙z=(x⊙y)*a*z=(x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z)= x*a*(y⊙z)= x⊙(y

⊙z).故运算⊙满足结合律.

?x∈G，x⊙a-1=x*a*a-1=x*e=x，a-1⊙x=a-1*a*x=e*x=x，故a-1是幺元. ?x∈G，x⊙(a-1*x-1* a-1)=x*a*(a-1*x-1* a-1)= x*e*(x-1* a-1)= a-1. (a-1*x-1* a-1)⊙x= (a-1*x-1* a-1)*a*x=(a-1*x-1)*e*x = a-1. 故a-1*x-1* a-1是x关于⊙的逆元. 综上所述是群.

9. 试写出模6加法群的每个子群及其相应的左陪集. 的运算表如下所示：

的子群：<{0}，+6>、<{0,3}，+6>、<{0,2,4}，+6>和.

10. 设A={1,2,5,10,11,22,55,110}.

1) A关于整除关系是否构成偏序集？构成偏序集 2) 如果构成偏序集合，画出其对应的哈斯图.

3) 如果构成偏序集，该偏序集合构成哪种格？ (分配格、有界格、有补格、布尔格). 分配格、有界格、有补格、布尔格