第2讲 三角恒等变换与解三角形
配套作业
一、选择题
1．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴π??重合，终边上一点M的坐标为(3，1)，则cos?α＋?的值是( ) 3??
1
A．－ 21C． 2答案 B
π?1133?解析 由已知得sinα＝，cosα＝，所以cos?α＋?＝cosα－sinα＝0. 3?2222?π??2．已知α是第三象限角，且tanα＝2，则sin?α＋?＝( ) 4??310
A．－
10C．－
10 10
310B．
10D．10 10B．0 D．1
答案 A
sinα2522
解析 由tanα＝＝2，sinα＋cosα＝1，且α是第三象限角，得sinα＝－，
cosα5cosα＝－π?52310?，所以sin?α＋?＝(sinα＋cosα)＝－，故选A.
4?2510?
5
b，A＝2B，则cosB＝( ) 2
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝A.C.5 35 5
B.D.5 45 6
答案 B 解析 ∵a＝55
b，由正弦定理，得sinA＝sinB.① 22
又∵A＝2B，∴sinA＝sin2B，sinA＝2sinBcosB.② 由①②且角B为△ABC的内角得cosB＝
5
. 4
132tan14°
4．设a＝cos2°－sin2°，b＝，c＝ 2
221－tan14°
1－cos50°
，则有( ) 2
A．a B．a 解析 由题意可知，a＝sin28°，b＝tan28°，c＝sin25°，易知c tanA＋tanB解析 因为tanAtanB>1，所以A，B都为锐角，又tanC＝－tan(A＋B)＝>0， tanAtanB－1所以角C为锐角，则△ABC为锐角三角形，选A. 6．(2018·南昌二模)如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7， B．直角三角形 D．无法确定 DC＝3，则AB＝( ) A.C.56 273 2 B.D.56 383 3 答案 A 49＋9－251153 解析 在△ACD中，由余弦定理可得cosC＝＝，则sinC＝.在△ABC中， 2×7×31414 ABAC56 由正弦定理可得＝，则AB＝，选A. sinCsinB2 7．(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是( ) A.C.π 43π 4 B.π 2 D.π 答案 C π??x＋解析 ∵f(x)＝cosx－sinx＝2cos?， 4??? ππ3π ∴由2kπ≤x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)， 4443π3π?π3π?因此[0，a]??－，?，∴a>0且a≤，即a的最大值为.故选C. 4?44?4二、填空题 π?3??π 8．已知cos?α＋?＋sinα＝，则cos?－2α 6?5??37 答案 － 25 ?的值是________． ?? π???π?3 解析 ∵cos?α＋?＋sinα＝cos?－α?＝， 6???6?57?π??2?π ∴cos?－2α?＝2cos?－α?－1＝－. 25?3??6? 2cos10°－sin20° 9．(2018·福州质检)的值是________． sin70°答案 3 －－sin20°3cos20° ＝＝3. cos20°cos20° 2 2 解析 原式＝ 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinA－sinB＝3sinBsinC，sinC＝23sinB，则A＝________. 答案 30° 解析 根据正弦定理可得a－b＝3bc，c＝23b，解得a＝7b.根据余弦定理cosA2 2 b2＋c2－a2b2＋12b2－7b23 ＝＝＝，得A＝30°. 2bc22×b×23bxx65π2x11．(2018·青岛模拟)已知不等式32sincos＋6cos－－m≤0对任意的－ 44426 π ≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是________． 6 答案 [3，＋∞) xx632x6x2x解析 依题意得，32sincos＋6cos－－m＝sin＋cos－m＝644422222 ?xπ??5ππ??xπ??5ππ?sin?＋?－m≤0在?－，?上恒成立，∴m≥6sin?＋?在?－，?上恒成立，6?6??26??6?26??6 πxππ 由于－≤＋≤， 4264 ?xπ?∴－3≤ 6sin?＋?≤ 3，故m≥3. ?26? 三、解答题 12．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝22，求BC. 解 (1)在△ABD中，由正弦定理，得 ＝. sinAsin∠ADBBDAB由题设知， 522 ＝，所以sin∠ADB＝. sin45°sin∠ADB5 223 1－＝. 2552. 5 由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝ (2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝在△BCD中，由余弦定理，得 BC2＝BD2＋DC2－2BD×DC×cos∠BDC＝25＋8－2×5×22× 2 2 ＝25.所以BC＝5. 5 2 13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a－ab－2b＝0. π (1)若B＝，求C； 6 2π (2)若C＝，c＝14，求S△ABC. 3 π22 解 (1)由已知B＝，a－ab－2b2＝0，结合正弦定理得2sinA－sinA－1＝0，于是sinA61 ＝1或sinA＝－(舍)． 2 ππ 因为0 23 (2)由题意及余弦定理可知a＋b＋ab＝196，由a－ab－2b＝0得(a＋b)(a－2b)＝0，即a＝2b，联立解得b＝27，a＝47. 1 所以S△ABC＝absinC＝143. 2 14．(2018·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2－2 －sinBsinC＝. 4 (1)求角A； (2)若a＝4，求△ABC面积的最大值． 解 (1)由cos得 2 2 2 2 2 2 B－C2 B－C2－2 －sinBsinC＝， 24 2 ， 4 B－C2 －sinBsinC＝－2， 2 ∴cos(B＋C)＝－∴cosA＝ 2π(0 2 2 2 2 2 (2)由余弦定理a＝b＋c－2bccosA，得16＝b＋c－2bc≥(2－2)bc，当且仅当b＝c时取等号，即bc≤8(2＋2)．
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