专题一 常以客观题形式考查的几个问题第1讲 集合与常用逻辑用
语
真题试做
1．(2012·重庆高考，理7)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )．
A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．充要条件
2．(2012·广东高考，理2)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则UM＝( )． A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
x3．(2012·山东高考，理3)设a＞0，且a≠1，则“函数f(x)＝a在R上是减函数”是“函
3
数g(x)＝(2－a)x在R上是增函数”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3
4．(2012·湖北高考，理2)命题“?x0∈RQ，x0∈Q”的否定是( )．
33
A．?x0?RQ，x0∈Q B．?x0∈RQ，x0?Q
33
C．?x?RQ，x∈Q D．?x∈RQ，x?Q
5．(2012·天津高考，理11)已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝
} ，且A∩B＝(－1，n)，则m＝__________，n＝__________. {x∈R|x－mx－
考向分析
本部分内容在高考题中主要以选择题和填空题的形式出现，集合在高考中主要考查三方面内容：一是考查集合的概念、集合间的关系；二是考查集合的运算和集合语言的运用，常以集合为载体考查不等式、解析几何等知识；三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力．对逻辑用语的考查，主要是对命题真假的判断、命题的四种形式、充分必要条件的判断、全称量词和存在量词的应用等．
热点例析
热点一 集合的概念与运算 【例1】已知A＝{0,1，a}，B＝{a2，b}，且A∩B＝{1}，A∪B＝{0,1,2,4}，则logab＝( )． A．－1 B．0 C．1 D．2
规律方法 解答集合间的运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义，再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．
确定(应用)集合间的包含关系或运算结果，常用到以下技巧：①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；③若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解；④注意转化关系(RA)∩B＝B?B?RA，A∪B＝B?A?B，U(A∩B)＝(UA)∪(UB)，U(A∪B)＝(UA)∩(UB)等．
x变式训练1 设全集U＝R，集合M＝{x|y＝3－2x}，N＝{y|y＝3－2}，则图中阴影部分表示的集合是( )．
???3
A.?x? C.?x?≤x<2??2? ??? ????? ?? ???3 B.?x? ??? ????? ?? 热点二 命题的真假与否定 【例2】给出下列四个结论： ①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题； 22 ②“?x0∈R，使得x－x＞0”的否定是：“?x∈R，均有x－x＜0”； 2 ③命题“x＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件； ④p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}，p且q为真命题． 其中正确结论的序号是__________．(填写所有正确结论的序号) 规律方法 1.命题真假的判定方法： (1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别； (2)四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律； (3)形如p∨q，p∧q，?p命题的真假根据真值表判定； ?x∈M，(4)全称命题与特称命题的真假的判定：全称命题p：p(x)，其否定形式是?x0∈M， ?p(x0)；特称命题p：?x0∈M，p(x0)，其否定形式是?x∈M，?p(x)． 2．命题的否定形式有： 原语句 是 都是 至少有一个 至多有一个 ＞ ?x∈A，使p(x)真 否定形式 不是 不都是 一个也没有 至少有两个 ≤ ?x0∈A，使p(x0)假 22变式训练2 已知命题p：“?x∈[1,2]，x－a≥0”；命题q：“?x∈R，x＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )． A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2 C．a≥1 D．－2≤a≤1 热点三 充分条件、必要条件、充要条件的判定 【例3】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．若?p是?q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围． 规律方法 (1)对充分、必要条件的判断要注意以下几点： ①要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A. ②要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明． (2)判断命题的充要关系有三种方法： ①定义法：1°分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；2°找推式：判断“p?q”及“q?p”的真假；3°下结论：根据推式及定义下结论． ②等价法：即利用A?B与?B??A；B?A与?A??B；A?B与?B??A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法． ③利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 2 变式训练3 (2012·山东济南一模)设p：|4x－3|≤1，q：x－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若?p是?q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是( )． ?1??1?A.?0，? B.?0，? ?2??2? ?1??1?C．(－∞，0]∪?，＋∞? D．(－∞，0)∪?，＋∞? ?2??2? 思想渗透 1．补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求A的补集，再由A的补集的补集是A求出A.逆向思维是从已有习惯思维的反方向去思考问题，在正向思维受阻时，逆向思维往往能起到“柳暗花明又一村”的效果，补集思想就是一种常见的逆向思维． 2222 已知下列三个方程：①x＋4ax－4a＋3＝0，②x＋(a－1)x＋a＝0，③x＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围． 解：设已知的三个方程都没有实根， 2 Δ1＝a＋a－??22 －4a<0，则?Δ2＝a－ ??Δ3＝a2＋8a<0， ， 3 解得－＜a＜－1. 2 3 故所求a的取值范围是a≥－1或a≤－. 2 2．特殊值法判断命题真假的类型： (1)判断全称命题为假； (2)判断特称命题为真； (3)判断一个命题不成立． 求解时注意的问题： (1)寻找特例时，应使特例符合已知条件； (2)特例应力求全面，不能以偏概全． 的定义域为集合A，函数y＝ 1．(2012·广州一模，理2)已知全集U＝R，函数y＝log2(x＋2)的定义域为集合B，则集合(UA)∩B＝( )． A．(－2，－1) B．(－2，－1] C．(－∞，－2) D．(－1，＋∞) 1 x＋1 1 2．(2012·广东佛山二模，理4)已知a，b为实数，则“|a|＋|b|＜1”是“|a|＜且|b| 21 ＜”的( )． 2 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．(2012·广东佛山一中期中，理2)下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( )． A．a＞b＋1 B．a＞b－1 2233 C．a＞b D．a＞b 52 4．已知命题p：?x∈R，使sin x＝，命题q：?x∈R，都有x＋x＋1＞0.给出下列 2 结论： ①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧?q”是假命题； ③命题“?p∨q”是真命题； ④命题“?p∨?q”是假命题． 其中正确的是( )． A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③ 5．(2012·广东粤西北九校联考，理3)下列命题错误的是( )． ．．A．“x＞2”是“x－3x＋2＞0”的充分不必要条件 22 B．命题“若x－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x＝1，则x－3x＋2≠0” 22 C．对命题：“对?k＞0，方程x＋x－k＝0有实根”的否定是：“?k＞0，方程x＋x－k＝0无实根” D．若命题p：x∈A∪B，则?p是x?A且x?B 6．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题： 2 ?2π? ?3?? ?2π?p2：|a＋b|＞1?θ∈?，π? ?3??π?p3：|a－b|＞1?θ∈?0，? 3???π?p4：|a－b|＞1?θ∈?，π? ?3? p1：|a＋b|＞1?θ∈?0， 其中的真命题是( )． A．p1，p4 C．p2，p3 B．p1，p3 D．p2，p4 参考答案 命题调研·明晰考向 真题试做 1．D 解析：若f(x)为[0,1]上的增函数，则f(x)在[－1,0]上为减函数，根据f(x)的周期为2可推出f(x)为[3,4]上的减函数；若f(x)为[3,4]上的减函数，则f(x)在[－1,0]上也为减函数，所以f(x)在[0,1]上为增函数，故选D. 2．C 解析：∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}， ∴UM＝{3,5,6}． x3 3．A 解析：由函数f(x)＝a在R上是减函数可得0＜a＜1，由函数g(x)＝(2－a)x在R上是增函数可得a＜2，因为0＜a＜1?a＜2，a＜20＜a＜1，所以题干中前者为后者的充分不必要条件，故选A. 3 4．D 解析：该特称命题的否定为“?x∈RQ，x?Q”． 5．－1 1 解析：A＝{x∈R||x＋2|＜3}，∴|x＋2|＜3. ∴－3＜x＋2＜3，∴－5＜x＜1. 又∵B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)， ∴－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，n是区间(－5,1)的右端点， ∴m＝－1，n＝1. 精要例析·聚焦热点 热点例析 2 【例1】 B 解析：∵A∩B＝{1}，∴b＝1或a＝1(不满足题意，舍去)，∴b＝1. ∵A∪B＝{0,1,2,4}， ∴a＝2或a＝4(不满足题意，舍去)，故logab＝log21＝0.选B. ??3? 【变式训练1】 B 解析：M＝{x|y＝3－2x}＝?x?x≤?， 2??? N＝{y|y＝3－2x}＝{y|y＜3}． 3 因图中阴影部分表示的集合的元素为N中元素除去M中元素，即＜x＜3，故选B. 2 【例2】 ①④ 解析：对于①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题， 2 所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对于②，命题“?x0∈R，使得x－x＞0”的否定应是： 222 “?x∈R，均有x－x≤0”，故②错；对于③，因由“x＝4”得x＝±2，所以“x＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；对于④，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故④正确． 2 【变式训练2】 A 解析：p：y＝x在x∈[1,2]上递增，最小值为1， 2 ∴a≤1.q：Δ＝4a－4(2－a)≥0， 2 ∴a＋a－2≥0，a≤－2或a≥1. 若命题“p∧q”是真命题，则p，q都为真． ??a≤1，由? ?a≥1或a≤－2，? 得a＝1或a≤－2，故选A.
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