2019年
寒假作业(十六) 直线与圆锥曲线的位置关系(注意命题点的区分度)
一、选择题
1．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个
43焦点，则k的值为( )
3
A. 21C．±
2
3B．±
21D. 2
x2y2
3?3?解析：选B 由题意可得，c＝1，a＝2，b＝3，不妨取A点坐标为?1，±?，则直线的斜率k＝±. 2?2?
x2y2
2．(2017·湖南五市十校联考)已知F1，F2分别是双曲线E：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1
ab且与x轴垂直的直线与双曲线左支交于点M，N，已知△MF2N是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是( )
A.2 C．1＋2
B．1 D．2＋2
b222
解析：选C 由已知得＝2c，即c－2ac－a＝0，
a所以e－2e－1＝0，解得e＝1±2， 又e＞1，所以e＝1＋2，故选C.
3．已知直线l：x－y－m＝0经过抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点，与C交于A，B两点，若|AB|＝6，则p的值为( )
1A. 2C．1
3B. 2D．2
2
2
解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
??∵抛物线的焦点为?，0?， ?2?
则由题意，得m＝.①
2
??x－y－m＝0，由?2
?y＝2px?
pp
消去y，得x－2(p＋m)x＋m＝0，
2
22
∴x1＋x2＝2(p＋m)，x1x2＝m， ∴|AB|＝2· [2
p＋m]2－4m2＝6.②
3
由①②得p＝，故选B.
2
4．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜
124
x2y2
2019年
率的取值范围是( )
A.?－C.?－
????
33?，? 33?33?，? 33?
B．(－3，3) D．[－3，3]
3
x.当过点F的直线与渐近线3
解析：选C 由题意知，右焦点为F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±
平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是?－C.
??33?
，?，故选33?
x2y2
5．已知圆(x－m)＋y＝4上存在两点关于直线x－y－2＝0对称，若离心率为2的双曲线2－2＝1(a＞0，bab2
2
＞0)的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为( )
A．1 B.3 C．23 D．4
解析：选D 由题意得直线x－y－2＝0过圆心(m,0)，所以m＝2，所以圆的方程为(x－2)＋y＝4，且经过原点，易知渐近线与圆相交时的交点构成的图形为三角形，因为＝2，所以＝1，所以渐近线方程为y＝±x，1
所以交点坐标分别为(0,0)，(2,2)，(2，－2)，所以三角形的面积为×2×4＝4，选D.
2
2
2
cabax2y2
6.过椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭
ab11
且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若＜k＜，则椭圆C的离心率的
32
圆C于另一点B，取值范围是( )
?13?A.?，?
?44??12?C.?，? ?23?
?2?B.?，1? ?3??1?D.?0，? ?2?
a2－c2a2－c2111a2－c2
解析：选C 由题图可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝，于是k＝.又＜k＜，所以＜＜
aaa＋c323aa＋c111－e112
，化简可得＜＜，从而可得＜e＜，选C. 231＋e223
2
x2y22
7．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为42，虚轴的一个端点与抛物线x＝2py(p＞0)的焦点重合，
ab直线y＝kx－1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行，则p＝( )
A．4 C．2
2
B．3 D．1
2
px?p?解析：选A 由抛物线x＝2py(p＞0)可知其焦点为?0，?，所以b＝，又a＝22，因此双曲线的方程为28?2?
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－
4y2
p2
＝1，渐近线方程为y＝±
p42
x.直线y＝kx－1与双曲线的一条渐近线平行，不妨设k＝
p42
，由
p? x－1，?y＝?42??x2＝2py
p?px－1?p?p?2
可得x＝2p?x－2p，即x2－ x＋2p＝0，则Δ＝?－?＝?－8p＝0，解
?42?22?22?22
2
2
2
2
得p＝4.故选A.
8．已知直线y＝1－x与双曲线ax＋by＝1(a＞0，b＜0)的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－
A．－
3
2
3a，则的值为( ) 2b23
B．－
323D．－
27
2
2
2
2
2
2
93C．－
2
解析：选A 由双曲线ax＋by＝1知其渐近线方程为ax＋by＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有ax1＋by1＝0①，ax2＋by2＝0②， 由①－②得a(x1－x2)＝－b(y1－y2)． 即a(x1＋x2)(x1－x2)＝－b(y1＋y2)(y1－y2)， 由题意可知x1≠x2，且x1＋x2≠0， ∴
2
2
2
2
2
2
2
2
y1＋y2y1－y2a·＝－， x1＋x2x1－x2b设AB的中点为M(x0，y0)， 则kOM＝＝
y02y0y1＋y23
＝＝－，
x02x0x1＋x22
3a×(－1)＝－， 2b又知kAB＝－1，∴－∴＝－
ab3. 2
2
9．已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若|FP|＝3|FQ|，则|QF|＝( )
8A. 3C．3
5B. 2D．2
足为N，则△PQN8＝. 31,2)
．
若
解析：选A 设l与x轴的交点为M，如图所示，过Q作QN⊥l，垂|NQ||PQ|28
∽△PFM，所以＝＝，因为|MF|＝4，所以|NQ|＝，故|QF|＝|QN|
|MF||PF|33
10．过抛物线C：y＝4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M(－
2
uuuruuurMA·MB＝0，则直线l的斜率k＝( )
2019年
A．－2 C．1
2
B．－1 D．2
解析：选C 抛物线C：y＝4x的焦点F(1,0)，由题意可知直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝
??y＝4x，
k(x－1)，联立?
2
消去y得，kx－(2k＋4)x＋k＝0，Δ＝16k＋16＞0，设交点A(x1，y1)，B(x2，
22222
??
y＝kx－1y2)，
?2
则??
x2k＋41＋x2＝k2，
??x1x2＝1，
?2
∴??y2k＋441＋y2＝kx1＋x2－2k＝k－2k＝k，
??y1y2＝－4.∴uuuMAr·uuuMBr＝(x1＋1，y1－2)·(x2＋1，y2－2) ＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－2)(y2－2) ＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－2(y1＋y2)＋4 22
2
＝1＋k＋484k＋4－8kk2＋1－4－k＋4＝k2
＝0， ∴4k2＋4－8k＝0，即k2
－2k＋1＝0，∴k＝1，故选C. 11.如图，抛物线E：y2
＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(2，t)(t＞＝3.已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，则直线GB的斜率
A．－
3
4
B．－
32 C．－223
D．－
23
解析：选C 由抛物线的定义得|AF|＝2＋p2.
因为|AF|＝3，所以2＋p2＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2
＝4x.
因为点A(2，t)(t＞0)在抛物线E：y2
＝4x上， 所以t＝22，即A(2,22)．
由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝22(x－1)． 由?
?y＝22x－1，2
?y2＝4x
得2x－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝1?1?2，从而B??2，－2??
.
0)在抛物线上，且|AF|为( )
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