fn?f，则???0，有m?X?fn?f?????0 ?n???. ???0(不妨设??2m?X?)，取0?????2m?X??. 今对这样，则
1??2m?X???2?取定的?及?，因fn?f，故?N??，s.t. 当n?N时，成立
m?X?fn?f?????d?fn,f?=??2. 所以
fn?t??f?t?1?fn?t??f?t?X?fn?f???dm+?fn?t??f?t?1?fn?t??f?t?X?fn?f???dm?m?X?fn?f?????1+
?1??m?X????=?. 所以d?fn,f??0?n???. 22+
所以fn?f?n???.
反之，若fn?f?n???，即d?fn,f??0?n???. 对???0，由于
?1??m?X?fn?f???????fn?t??f?t?1?fn?t??f?t?Xfn?f???dm?d?fn,f?. 所
以limm?X?fn?f?????0，即fn?f.
n?? 以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛)，引进距离概念之后，都可以统一在度量空间的极限概念之中. 作业 P205. 5.
作业提示 均匀收敛即一致收敛. 证明大意如同“序列空间S”，并利用 maxa?t?bfn?r??t??f?r??t?1?fn?r??t??f?t??r?=
a?t?bnaxfn?r??t??f?r??t??r??r?a?t?b1?maxfn?t??f?t?.
§2.2(2) 度量空间中的稠密集 可分空间 教学内容(或课题)：
目的要求： 掌握度量空间中的稠密集和可分空间的概念，能正确使用这两个概念.
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教学过程：
Th 设B是度量空间X的一个子集，则集合
O??xx?X,y?B,d?x,y????是个开集，且B?O.
证明 设?x0?O，则?y0?B，s.t. d?x0,y0???. 所以
x0?U?y0,???O. ?x?U?x0,??，其中0????-d?x0,y0?，则
d?x,y0??(?-d?x0,y0?)+d?x0,y0?=?. 所以U?x0,???U?y0,???O. 所以?x0是O之内点. 所以O是开集.
又证 以B中每一点为心作半径?的邻域，所有这些邻域的并集就是集合O.
每个邻域都是开集，任意个开集之并仍为开集，故O为开集. 至于B?O是很显然的. 证毕.
?1? 附注 当??0时，得到是B之闭包未必是B. 例如B=???R1.
?n?12k?1??11??11??O=?U?,??U??,?=??,??0?，但0?B. ???k?1k??k?k?1?k?k?1???nk?n?1 P205.6. 设B??a,b?，证明度量空间C?a,b?中的集
??f当t?B时,f?t??0?为C?a,b?中的闭集，而集
A?f当t?B时,f?t??a????a?0?为开集 ? B为闭集.
证明 设?fn?t??n?1?f当t?B时,f?t??0且在C?a,b?中对?n??，有fn?t?=0. 令n??，得t?Bfn?t??f?t?.则当t?B时，
时，f?t??0. 所以f?t??f当t?B时,f?t??0. 所以
?????f当t?B时,f?t??0?是闭集.
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“?” 设B为闭集，f0?t??A，则 f0?t??a(当t?B). 因f0?t?在B连续，所以f0?t??maxf0?t??a(当t?B). 取?：
t?B0???a-maxf0?t?，则对?f?t??U?f0,??，有
t?Bf?t??f0?t??maxf?t??f0?t???. 所以f?t??f0?t?+?. 所以当
t??a,b?t?Bf?t??f0?t?+??maxf0?t?+(a-maxf0?t?)=a
t?Bt?B所以U?f0,???A. 所以A为开集.
? “?” 设A为开集. 设?tn?n?1?B，取点f?t?：tn?t0且t0?B.
f?t??a，则f?tn??a，令n??得，f?t0??a.f?t??A=f当t?B时，??因为t0?B，故只有f?t0??a. 不妨设f?t0?=a(f?t0?=-a时同法可证之). 因为A为开集，所以??0?0，s.t.
f?t??a. U?f,?0??A=f当t?B时，?? ??：0????0，因为d?f?t???，f?t??????0，所以点
f?t?+??Uf,?0?A. 因为limf?tn?=f?t0?，所以对上述??0且
n????存在tN?B，s.t.f?tN??f?t0???， 所以f?t0?-??f?tN?. 所???0，
以f?tN?+??f?t0?=a.
但由方框，应有f?xN????a，与f?tN?+??f?t0?=a相互矛盾. 这就证明了B?B?. 故B为闭集. 证毕.
Def 1 设X是度量空间，N和M是X的两个子集，令M表示M 11
的闭包，若N?M，则称集M在集N中稠密，当N=X时，称M为X的一个稠密子集. 若X有一个可列的稠密子集，则称X是可分空间.
例1 n维欧氏空间Rn是可分空间. 事实上，座标为有理数的点的全体是Rn的可列稠密子集.
设M是闭区间?a,b?全体有理数集合，N是?a,b?全体无理数集合. 在R1中，因为M?N，N?M，所以N在M中稠，M在N中稠. 因为?a,b??M，?a,b??N，所以M和N都在?a,b?中稠密. 若X=?a,b?视为R1的子空间，则X是可分空间.
例2 离散距离空间X可分 ? X是可列集.
实因在X中没有稠密的真子集(因X中任何一个真子集的闭集还是这个真子集本身)，所以X中唯一的稠密子集只有X本身，因此X可分的充要条件为X是可列集.
例3 令l?表示有界实(或复)数列全体. 对l?中?x???1,?2,??，
y=??1,?2,??，定义d?x,y?=sup?k??k.
k 显然d?x,y??0 且d?x,y?=0 ? sup?k??k=0 ? 对?k??，都
k有?k??k=0 ? 对?k??，都有?k??k ? x?y. 其次设?z=??1,?2,???l?. 因为?k??，都有
?k??k??k??k+?k??kkk?sup?k??k+sup?k??k. 所以
kkksup?k??k?sup?k??k+sup?k??k.即d?x,y??d?x,z?+d?y,z?. 所以l?按d?x,y?成为度量空间.
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