证：（在有不动点
中考虑映照
）
中作映照
，若其为压缩映照，则
在完备度量空间,显然,对
。
由连续函数的运算性质有
是到自身的一个映照
下证是压缩的. 即证
由微分中值定理,存在
,使
,任取
令
则
,故
取最大值 映照T是压缩的.由Banach压缩映象定理 在
上有唯一的不动点
使
显然这个不动点适合
注：① 注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是难点）,然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得。注意到这是利用Banach压缩映照定理解题的一般方法。
② ② 此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在
定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上
的连续隐函数
.
下面我们介绍Banach不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应用--Picard定理.
21
定理3：（Picard定理 Cauchy--Peano微分方程解的存在唯一性定理） （Picard 法国人 1856—1941 Peano意大利人1858--1932） 设
在矩形
又
上连续,设
在R上关于x満足Lipschitz（德
有 在区间的连续函数
国人 1832--1903）条件,即存在常数k使对
,那么方程
上有唯一的满足初始条件
解.其中证：设对足条件闭,因而令
如果
而
表示在区间
上的连续函数全体。
表示
中满
成完备度量空间。又令
的连续函数全体所成的子空间。显然
也是完备度量空间.
当
时,
是R上的二元连续函数,映照中积分有意义。
故T是
到
的一个映照
又对一切
下证是压缩的。 由Lipschitz条件,对有
中的任意两点
22
令 则
由Banach压缩映象定理,T在即 即
即
再证唯一性。 如果
也是
满足
使
且
,则由
有
.
故T是压缩的。 中有唯一的不动点.
是满足初值条件的连续解。
的连续解.
那么 因而 而且也是T的不动点.而T的不动点是唯一的. 故
有唯一解。
注：题设条件中Lipschitz条件的要求是十分强的，它保证了解的唯
一性。实际上満足Lipschtz条件即为一致收敛。因而可在积分号下求导，如果把解的要求降低，例如只要求广义解，即只要求
满足积分方程
则题设条件可大大放宽：
只要 有界,即可利用Lebesgue控制收敛定理得到广义解。 注意到Banach压缩映照定理不仅证明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法--逐次逼近法：即只要任取
则解
令
.且在Banach不动点定理的证明中,有
23
.即此式给出了用逼近解的误差估计式。
补充：Brouwer不动点是定理与Schauder不动点定理简介
鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位，以及不动点理论是现代泛函分析中一个十分活跃的重要分支，下面我们简单介绍Brouwer不动点定理和Schauder不动点定理及其简单应用。 一、Brouwer不动点定理及其应用： （一）Brouwer不动点定理
（Brouwer：荷兰人 1881-1966）
定义（凸集）： X为一集,若 X的凸子集。
定理1（Brouwer不动点定理）：
设
.
证：1、若 作辅助函数 从而变成证明 显然:
证明如下：不妨设
显然使 否则 否则
在 即可.
则0为f之不动点; 则1为f之不动点: 上连续.
为
的有界闭凸集，
连续,则
则称A为
使
(证毕)由连续函数的介值性定理的推论：根的存在定理可得使
证毕。
2、若 ,其证明方法很多，其中纯分析方法的证明要用到场论中旋度的概念，且很繁，而简洁的证明要用到拓扑学中映象度理论，因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点定理及其应用》,或一般常微分方程教材的附录。
3、注意到Brouwer不动点定理中的条件是不可缺少的，但某些条件可
24
相关推荐：
loading