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第3节 幂级数
3.1 函数项级数的概念
给定一个定义在区间I 上的函数列?un(x)?? 由这函数列构成的表达式
u1(x)?u2(x)?u3(x)???un(x)??, 称为定义在区间I上的(函数项)级数? 记为?un(x)?
n?1???对于区间I内的一定点x0? 若常数项级数?un(x0)收敛? 则称点x0是级数?un(x)的
n?1n?1?收敛点? 若常数项级数
?un?1n(x0)发散? 则称点x0是级数?un(x)的发散点?
n?1?函数项级数?un(x)的所有收敛点的全体称为它的收敛域? 所有发散点的全体称为它
n?1?的发散域?
在收敛域上? 函数项级数
n?1??un(x)的和是x的函数s(x)?
??s(x)称为函数项级数
n?1?un(x)的和函数? 并写成s(x)??un(x)? 函数项级数?un(x)的前n项的部分和记作
n?1sn(x)? 即
sn(x)?u1(x)?u2(x)?u3(x)???un(x)?
在收敛域上有limsn(x)?s(x).
n??函数项级数?un(x)的和函数s(x)与部分和sn(x)的差
n?1?,.
rn(x)?s(x)?sn(x)
叫做函数项级数?un(x)的余项? 并有limrn(x)?0?
n?1?n??
3.2 幂级数及其收敛性
函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数? 这种形式的级数称为幂级数? 它的形式是
?an?0?nxn?a0?a1x?a2x2???anxn???
其中常数a0,a1,a2,?,an,?叫做幂级数的系数?
定理1（阿贝尔定理) 对于级数
?an?0?nxn，当x?x0(x0?0)时收敛? 则适合不等式
?x?x0的一切x使这幂级数绝对收敛? 反之? 如果级数?anxn当x?x0时发散? 则适合
n?0不等式x?x0的一切x使这幂级数发散?
证 先设x0是幂级数
n?an?0?nx的收敛点? 即级数?anxn收敛? 根据级数收敛的必要
nn?0?条件?有limanx0?0? 于是存在一个常数M? 使
n??nanx0?M(n?1,2,?)?
?这样级数
?an?0nxn的的一般项的绝对值
xnxnxnn|anx|?|anx?n|?|anx0|?||?M?||?
x0x0x0nn0,.
?xn因为当x?x0时? 等比级数?M?||收敛? 所以级数?|anxn|收敛? 也就是级数
x0n?0n?0??an?0?nxn绝对收敛?
定理的第二部分可用反证法证明?
倘若幂级数当x?x0时发散而有一点x1适合x1?x0使级数收敛? 则根据本定理的第一部分? 级数当x?x0时应收敛? 这与所设矛盾? 定理得证?
推论 如果级数
?an?0?nxn不是仅在点x?0一点收敛? 也不是在整个数轴上都收敛?
则必有一个完全确定的正数R存在? 使得 当x?R时? 幂级数绝对收敛? 当x?R时? 幂级数发散?
当x?R与x??R时? 幂级数可能收敛也可能发散? 正数R通常叫做幂级数
?an?0?nx的收敛半径? 开区间(?R,R)叫做幂级数?anxn的
nn?0?收敛区间? 再由幂级数在x??R处的收敛性就可以决定它的收敛域? 幂级数敛域是(?R,R)或[?R,R)、(?R,R]、[?R,R]之一?
若幂级数
?an?0?nx的收n?an?0?nx只在x?0收敛? 则规定收敛半径R?0 ? 若幂级数?anxn对一
nn?0?切x都收敛? 则规定收敛半径R???? 这时收敛域为(??,??)?
?an?1|??? 其中an、an?1是幂级数?anxn的相邻两项的系数? 则这定理2 如果lim|n??ann?0幂级数的收敛半径
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? ?? ??0??R??1 ??0?
????0 ????证明
an?1xn?1an?1lim||?lim||?|x| ??|x|? nn??n??aanxn (1) 如果0?????, 则只当?x?1时幂级数收敛? 故R?1?
? (2) 如果??0? 则幂级数总是收敛的? 故R????
(3) 如果????? 则只当x?0时幂级数收敛? 故R?0?
xn例1 求幂级数 ?2 的收敛半径与收敛域?
n?1n?解 因为
an?1n2??lim?lim?1?
n??an??(n?1)2n所以收敛半径为R??1?1? 即收敛区间为(?1,1).
??1(?1)n1xn?2，由于级数?2收敛，所以 级数?2在x??1时也 当x??1时? 有
n2nn?1nn?1n收敛.因此? 收敛域为[?1,1]?
例2 求幂级数
?n!xn?0?1n=1?x?1x2?1x3? ? ? ? ?1xn? ? ? ?
2!3!n!的收敛域?
解 因为
1a(n?1)!?? lim|n?1| ? lim ? limn!?0?
n??ann??n??(n?1)!1n!
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