ARCH建模及SAS实现
一．Arch模型
Arch模型即自回归条件异方差模型，是金融市场中广泛应用的一种特殊非线性模型。1982年，R.Engle在研究英国通货膨胀率序列规律时提出ARCH模型，其核心思想是残差项的条件方差依赖于它的前期值的大小。1986年，Bollerslev在ARCH模型基础上对方差的表现形式进行了线性扩展，并形成了更为广泛的GARCH模型。
1. 金融时间序列的异方差性特征
金融时间序列，无恒定均值(非平稳性)，呈现出阶段性的相对平稳的同时，往往伴随着出现剧烈的波动性；具有明显的异方差(方差随时间变化而变化)特征：
尖峰厚尾：金融资产收益呈现厚尾和在均值处呈现过度波峰； 波动丛聚性：金融市场波动往往呈现簇状倾向，即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相关关系。
杠杆效应：指价格大幅度下降后往往会出现同样幅度价格上升的倾向。
因此，传统线性结构模型（以及时间序列模型）并不能很好地解释金融时间序列数据。
2. ARCH(p)模型 考虑k变量的回归模型
yt??0??1x1t???kxkt??t
若残差项?t的均值为0，对yt取基于t-1时刻信息的期望：
Et?1(yt)??0??1x1t???kxkt
该模型中，yt的无条件方差是固定的。但考虑yt的条件方差：
var(yt|Yt?1)?Et?1(yt??0??1x1t???kxkt)2?Et?1?t2
其中，var(yt|Yt?1)表示基于t-1时刻信息集合Yt-1的yt的条件方差，若残差项?t存在自回归结构，则yt的条件方差不固定。
假设在前p期所有信息的条件下，残差项平方?t2服从AR(p)模型：
?t2????1?t2?1???p?t2?p??t (*)
其中?t为0均值、??2方差的白噪声序列。则残差项?t服从条件正态分布：
?t~N?0,???1?t2?1?残差项?t的条件方差：
var(?t)??t2????1?t2?1???p?t2?p?
??p?t2?p
由两部分组成：
（1）常数项?；
（2）ARCH项——变动信息，前p期的残差平方和??i?t2?i
i?1p注：未知参数?0,?1,,?p和?0,?1,,?k利用极大似然估计法估
计。
方差非负性要求?0,?1,进一步要求方程
1??1z???pzp?0
,?p都非负。为了使?t2协方差平稳，需
的根都位于单位圆外。若?i都非负，上式等价于?1?注：若扰动项的条件方差不存在自相关，则有?1?此时var(?t)??0，即残差的条件方差同方差性情形。
3. GARCH(p,q)模型
??p?1. ??p?0，
ARCH(p)模型在实际应用中，为了得到较好的拟合效果，往往需要很大的阶数p，从而增加了待估参数个数、引发多重共线性、非限制估计违背?i非负性要求。
1986年，Bollerslev将ARCH(p)模型推广为广义自回归条件异方差模型GARCH(p, q)：残差?t的条件方差表示为
var(?t)????????2ti?1p2it?i???i?t2?i
i?1q由三项组成，
（1）常数项?； （2）ARCH项；
（3）GARCH项——前q期预测方差??i?t2?i.
i?1p注：未知参数用极大似然法估计，通常残差的假设分布有正态分布、t分布、广义误差分布；该模型也要求?i,?i非负；若要求是平稳
过程，需要限制??i???i?1. 实际上，GARCH(p, q)模型是将残差
i?1i?1pp平方用ARMA(q,p)模型描述。
4. ARCH检验
检验模型的残差是否具有ARCH效应有两种方法： (1). ARCH LM检验——拉格朗日乘数检验
检验原假设H0：残差序列直到p阶都不存在ARCH效应；需进行如下回归：
???0???i?t2?i??t ?2ti?1p检验回归有两个统计量：
1F统计量——检验回归系数是否显著为0. ○
22
2T×R统计量——LM统计量，其中T为观察值个数，R为回○
归拟合优度，该统计量渐近服从?2(p)分布。
(2). 残差平方相关图
?t2序列，直到任意指定的滞后阶残差平方相关图显示残差平方?数的自相关函数（AC）和偏自相关函数（PAC），并计算相应滞后阶数的QLB统计量。若不存在ARCH效应，则任意滞后阶数的自相关函数（AC）和偏自相关函数（PAC）都近似为0. 5. GARCH-M模型
一般风险越大，预期收益越大。在回归模型中加入一项“利用条件方差表示的预期风险”：
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