初一数学竞赛系列讲座8

初一数学竞赛系列讲座(8)

解一次方程（组）与一次不等式（组）

一、 知识要点 1、一元一次方程

方程中或者不含分母，或者分母中不含未知数，将它们经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式ax=b(a≠0)，它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，我们把这一类方程叫做一元一次方程。

解一元一次方程的一般步骤是：分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1。

2、方程ax=b(a、b为常数)的解的情形 当a≠0时，方程ax=b有唯一解

x?ba

当a=0，b=0时，方程ax=b有无数多个解，即方程的解为任何有理数。

当a=0，b≠0时，方程ax=b无解。 3、一次方程组

解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 4、不定方程

不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定

只求整数解或正整数解。

定理：若整系数不定方程ax+by=c (a、b互质)有一组整数解为x0，

?x?x0?kb (这里k为任意整数)?y?y?ka0y0，则此方程的全部整数解可表示为：?

5、一次不等式（组）

只含一个未知数，而且未知数的最高次数是1的不等式称为一元一次不等式，它的一般形式是ax>b或ax

(1) 反身性 如果a>b，那么bb，b>c，那么a>c (3) 平移性 如果a>b，那么a+c>b+c (4) 伸缩性 如果a>b，c>0，那么ac>bc

如果a>b，c<0，那么ac

不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。

不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。

不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 二、 例题精讲

例1 解方程

3?x?1??1?x?1??2?x?1??1?x?1?32

分析：按常规去括号整理后再解，显然较繁，通过观察发现方程中只

含有(x+1)、(x-1)项，因而可将(x+1)、(x-1)看作整体，先进行移项合并，则能化繁为简。 解：移项，得

3?x?1??1?x?1??2?x?1??1?x?1?23

7?x?1??7?x?1?3合并，得2

去括号，移项，可解得 x= -5 评注：本题是整体处理思想的应用。

m?x?n??1?x?m?4例2 解关于x的方程 3

解：原方程整理得：(4m-3)x=4mn-3m

34mn?3mm?时，x?44m?3 故 当4m-3≠0时，即

39m?时，方程为 0?x?3n?，44 当4m-3=0时，即

3n?，则方程为 0?x?0，故方程的解为任何有理数4 此时，若 3n?，显然方程无解，4 若 34mn?3mm?时，x?44m?3； 综上所述，当

m?33,n?时，方程解为任何有理数44；

当

当

m?33,n?时，方程无解。44

评注：含参方程必须对参数进行讨论。

?xyz??? (1)?234?4x?3y?4z?5 (2) (2) 3 解方程组 (1) ?例

(1)?16x?3y?3z?10 ?(2)?3x?16y?3z?14 ?3x?3y?16z?20 (3)?

分析：第一个方程组的(1)式是一个连比式，对于连比式常用连比设k法来解决。

第二个方程组的各式系数较大，直接用代入消元或加减消元比

较繁，观察这个方程组的特点，将三式相加可得x+y+z，然后再用三式去分别减可得x、y、z的值。

xyz???k，则x?2k,y?3k,z?4k解：(1)设234，代入(2)得k=5

∴x=10，y=15，z=20

?x?10??y?15?z?20? ∴原方程组的解为

(2) (1)+(2)+(3)得22 (x+y+z)=44，所以x+y+z=2 所

以3 (x+y+z)=6 (4)

4 (1)-(4)得13x=4，则x=13 8 (2)-(4)得13y=8，则y=13