第十八届全国中学生物理竞赛预赛试题参考解答、评分标准
一、参考解答
杆的端点A点绕O点作圆周运动，其速度vA的方向与杆OA垂直，在所考察时其大小为 vA??R （1） 对速度vA作如图预解18-1所示的正交分解，沿绳BA的分量就是物块M是速率
vM，则
vM?vAcos? （2） 由正弦定理知
sin?OABsin? （3） ?HR由图看出 ?OAB?由以上各式得
vM??Hsin? （5）
评分标准：本题15分
其中（1）式3分；（2）式5分；（5）式7分。
二、参考解答
带电质点在竖直方向做匀减速运动，加速度的大小为g；在水平方向因受电场力作用而做匀加速直线运动，设加速度为a。若质点从M到N经历的时间为t，则有
vx?at?v0 （1） vy?v0?gt?0 （2） 由以上两式得
a?g （3） t??2?? （4）
v0 （4） gM、N两点间的水平距离
212v0 x?at? （5）
22g于是M、N两点间的电势差 UMN2Uv0U （6） ?x?d2dg
评分标准：本题15分
（1）、（2）式各3分；（3）、（4）式各2分；（5）式3分；（6）式2分。
三、参考解答
1．先求凸球面的曲率半径R。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于F点，如图预解18-3-1所示。C点为球面的球心，CO?R，由正弦定理，可得
R?fsinr? （1） Rsin(r?i)由折射定律知
sini1? （2） sinrn当i、r很小时，sinr?r，sin(r?i)?r?i，sini?i，由以上两式得
1?frn1 （3） ???1?Rr?in?1n?1所以
R?(n?1)f （4） 2. 凸面镀银后将成为半径为R的凹面镜，如图预解18-3-2所示 令P表示物所在位置，P点经平面折射成像P?，根据折射定律可推出
P?O?nPO （5）
由于这是一个薄透镜，P?与凹面镜的距离可认为等于P?O，设反射后成像于P??，则由球面镜成像公式可得
112?? （6） P??OP?OR由此可解得P??O?36cm，可知P??位于平面的左方，对平面折射来说，P??是一个虚物，经平面折射后，成实像于P???点。
P???O1? （7） P??On所以 P???O?24 cm （8）
最后所成实像在透镜左方24 cm处。 评分标准：本题18分 （1）、（2）式各2分；（3）或（4）式2分；（5）式2分；（6）式3分；（7）式4分；（8）式3分。
四、参考解答
设中子和碳核的质量分别为m和M，碰撞前中子的速度为v0，碰撞后中子和碳核的速度分别为v和v?，因为碰撞是弹性碰撞，所以在碰撞前后，动量和机械能均守恒，又因v0、v和
v?沿同一直线，故有
mv0?mv?Mv? （1） 解上两式得
v?因M?12m 代入（3）式得
v??12121mv0?mv?Mv?2 （2） 222m?Mv0 （3） m?M11v0 （4） 13负号表示v的方向与v0方向相反，即与碳核碰撞后中子被反弹．因此，经过一次碰撞后中子的能量为
11?11?2 E1?mv2?m???v0
22?13?于是
2?11? E1???E0 （5）
?13?经过2，3，…，n次碰撞后，中子的能量依次为E2，E3，E4，…，En，有
2?11??11? E2???E1???E0
?13??13??11? E3???E0
?13? ……
624?E??11? En??1?E0???E0 （6）
?13??E0?因此 n?n2n1lg(En/E0) （7）
2lg(11/13)已知 代入（7）式即得
En0.0251???10－7 6E01.75?107
1lg(?10－7)?7?lg77.84517???54 （8） n?112(?0.07255)0.14512lg()13故初能量E0?1.75MeV的快中子经过近54次碰撞后，才成为能量为0.025 eV的热中子。 评分标准：本题18分 （1）、（2）、（4）、（6）式各3分；（5）、（7）、（8）式各2分。
五、参考解答
在人从木板的一端向另一端运动的过程中，先讨论木板发生向后运动的情形，以t表示人开始运动到刚抵达另一端尚未停下这段过程中所用的时间，设以x1表示木板向后移动的距离，如图预解18-5所示．以f表示人与木板间的静摩擦力，以F表示地面作用于木板的摩擦力，以a1和a2分别表示人和木板的加速度，则
f?m1a （1） L?x1?a1t2 （2）
12f?F?Ma2 （3）
1x1?a2t2 （4）
2解以上四式，得
t?2LMm （5）
Mf?m(f?F)对人和木板组成的系统，人在木板另一端骤然停下后，两者的总动量等于从开始到此时地面的摩擦力F的冲量，忽略人骤然停下那段极短的时间，则有
Ft?(M?m)v （6） 设人在木板另一端停下后两者一起向前移v为人在木板另一端刚停下时两者一起运动的速度．动的距离为x2，地面的滑动摩擦系数为?，则有
1(M?m)v2??(M?m)gx2 （7） 2木板向前移动的净距离为
X?x2?x1 （8） 由以上各式得
???1?F??LMmLm X??(f?F)??? ???g?Mf?m(f?F)?M?m??(M?m)(f?F)?MF???由此式可知，欲使木板向前移动的距离X为最大，应有
2
f?F （9） 即 f?Fmax??(M?m)g （10） 即木板向前移动的距离为最大的条件是：人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑动摩擦力．
移动的最大距离
mL （11）
M?m由上可见，在设木板发生向后运动，即f?F的情况下，f?F时，X有极大值，也就是说，在时间0～t内，木板刚刚不动的条件下X有极大值．
再来讨论木板不动即f?F的情况，那时，因为f?F，所以人积累的动能和碰后的总动
Xmax?能都将变小，从而前进的距离x也变小，即小于上述的Xmax。
评分标准：本题25分
（1）、（2）、（3）、（4）式各1分；（6）式5分；（7）式2分；（8）式3分；（9）式2分；（10）式3分；（11）式5分；说明f?F时木板向前移动的距离小于f?F时的给1分。
六、参考解答
铝球放热，使冰熔化．设当铝球的温度为t0时，能熔化冰的最大体积恰与半个铝球的体积相等，即铝球的最低点下陷的深度h与球的半径R相等．当热铝球的温度t?t0时，铝球最低点下陷的深度h?R，熔化的冰的体积等于一个圆柱体的体积与半个铝球的体积之和，如图预解18-6-1所示．
设铝的密度为?Al，比热为c，冰的密度为?，熔解热为
?，则铝球的温度从t℃降到0℃的过程中，放出的热量
4 Q1??R3?Alct （1）
3熔化的冰吸收的热量
图预解 18-6-1
14?? Q2????R2(h?R)???R3?? （2）
23??假设不计铝球使冰熔化过程中向外界散失的热量，则有
Q1?Q2 （3） 解得
1t?R （4） ?3即h与t成线形关系．此式只对t?t0时成立。将表中数据画在ht图中，得第1，2，…，8次实验对应的点A、B、…、H。数据点B、C、D、E、F五点可拟合成一直线，如图预
h?解18-6-2所示。此直线应与（4）式一致．这样，在此直线上任取两点的数据，代人（4）式，再解联立方程，即可求出比热c的值．例如，在直线上取相距较远的横坐标为8和100的两点X1和X2，它们的坐标由图预解18-6-2可读得为
X1(8.0,5.0) X2(100,16. 7)4Rc
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