(完整word版)等腰三角形中的分类讨论问题归类

初中数学等腰三角形的分类讨论

等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。

一、遇角需讨论

例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ） A. 30°

B. 75°

C. 105°

D. 30°或75°

简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为

180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D。

说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。

二、遇边需讨论

例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。 简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。

说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。

三、遇中线需讨论

例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形。

11??x?x?9,x?x?12,????22若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得?或??1x?y?12,?1x?y?9.???2?2解得?

?x?6,?y?9,

或??x?8,?y?5.即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是5cm。

说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。

四、遇高需讨论

例4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。

例5. 为美化环境，计划在某小区内用30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

简析：在等腰ΔABC中，设AB=10m，作CD⊥AB于D，由S?ABC?可得

CD=6m。如下图，当

AB

21?AB?CD?30，2为底边时，AD=DB=5m，所以

AC?BC?CD2?AD2?61(m)。

如下图，当AB为腰且ΔABC为锐角三角形时，

AB?AC?10m，所以AD?AC2?CD2?8(m)，

BD?2m,BC?CD2?BD2?210(m)。

如下图，当AB为腰且ΔABC为钝角三角形时，

AB?BC?10m，BD?BC2?CD2?8(m)，

所以AD?18m,AC?CD2?AD2?610(m)。

说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。

五、遇中垂线需讨论

例6.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。

简析：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。

如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以 ∠B=∠C=

1（180°－40°）=70°。 21（180°－140°）=20° 2如图2，当交点在腰CA的延长线上时，ΔABC为钝角三有形，此时可求得 ∠BAC=140°，所以∠B=∠C=

故这个等腰三角形的底角为70°或20°。

说明：这里的图2最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这样才能正确解题。

六、和方程问题的综合讨论

例7. 已知ΔABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程

x2?(2k?3)x?k2?3k?2?0 的两个实数根，第三边BC长为5。

（1）k为何值时，ΔABC是以BC为斜边的直角三角形？ （2）k为何值时，ΔABC是等腰三角形，并求ΔABC的周长。 简析：（1）略。

（2）若ΔABC是等腰三角形，则有AB=AC，AB=BC，AC=BC这三种情形。方程

x2?(2k?3)x?k2?3k?2?0可化为(x?k?2)(x?k?1)?0，即x1?k?2，

x2?k?1，显然x1?x2，即AB?AC。当AB=BC或AC=BC时，5是方程x2?(2k?3)x?k2?3k?2?0的根。当x?5时，代入原方程可得k2?7k?12?0，解

得k1?3，k2?4。

当k?3时，原方程的解为x1?5,x2?4，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，4，周长为14。当k?4时，原方程的解为x1?6,x2?5，等腰ΔABC的三边长分别为5，5，6，周长为16。

所以当k?3或k?4时，ΔABC是等腰三角形，周长分别为14或16。