求向量组的秩与极大无关组

求向量组的秩与极大无关组

对于具体给出的向量组，求秩与极大无关组的常用方法如下. 方法1 将向量组

排成矩阵

：

(列向量组时)或

并求则包含

(行向量组时) (*) 中找非零的阶子式

，

的秩，则即是该向量组的秩；再在原矩阵的个列(或行)向量即是

的列(或行)向量组的一个极大无关组.

方法2 将列(或行)向量组列)变换化

为行(或列)阶梯形矩阵

(或

排成矩阵)，则

如(*)式，并用初等行(或(或

)中非零行(或列)的

个数即等于向量组的秩，且

是

(或

是该向量组的一个极大无关组，其中

)中各非零行(或列)的第1个非零元素所在的列(或行).

方法3 当向量组中向量个数较少时，也可采用逐个选录法：即在向量组中任取一个非零向量作为又取一个不能由组的极大无关组.

对于抽象的向量组，求秩与极大无关组常利用一些有关的结论，如“若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩”，“等价向量组有相同的秩”，“秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组”等. 例1 求向量组

，

，

，

，

和

，再取一个与

的对应分量不成比例的向量作为

，

线性表出的向量作为，继续进行下去便可求得向量

的秩与一个极大无关组.

解 法1

，所以向量组的秩为3；又

子式

中位于1，2，4行及1，2，4列的3阶

故

是向量组的一个极大无关组(可知

；

均可作

为极大无关组).

法2

由于的第1，2，4个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的

一个极大无关组.

例2 求向量组关组.

，，，的秩和一个极大无

解

(1) 当极大无关组； (2) 当关组；

时，且

时，

，故向量组的秩为3，且

是一个

，故向量组的秩为3，且是一个极大无

(3) 当时，若，则，此时向量组的秩为2，且是

一个极大无关组.若一个极大无关组. 例3 设向量组

，则 ，此时向量组的秩为3，且是

的秩为.又设

，，

求向量组的秩.

解 法1 由于，且

所以

故向量组

与

等价，从而

的秩为.

法2 将看做列向量，则有

其中 可求得

，即

可逆，从而

可由

线性

表示，故这两个向量组等价，即它们有相同的秩. 例4 设向量组(Ⅰ)：，而向量组(Ⅲ)：

和向量组(Ⅱ)：

的秩为.证明：

的秩分别为和

.

证 若和中至少有一个为零，显然有为零，不妨设向量组(Ⅰ)的极大无关组为组为可以由

，结论成立.若和都不，向量组(Ⅱ)的极大无关

，由于向量组可以由它的极大无关组线性表示，所以向量组(Ⅲ)，

线性表示，故

的秩