Mm
应满足Gr2＝ma，因此加速度a与距离r的二次方成反比。
考点三 估算天体质量和密度
【典例3】（2019·浙江选考）20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F（其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是（ ）
F?vv2RA． ，
?tG【答案】D
F?vF?tv2Rv3TB． C． ，，
?t?vG2πGF?tv3TD． ，
?v2πG【解析】直线推进时，根据动量定理可得F?t?m?v，解得飞船的质量为m?F?t，绕孤立星球运?vMm4?2Mmv2v3T动时，根据公式G2?m2r，又G2?m，解得M?，D正确。
rTrr2?G【举一反三】 (2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J031810－11 ＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 【答案】C
Mm4π2R
【解析】毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据GR2＝mT2，43π
3153
M＝ρ·3πR，得ρ＝GT2，代入数据解得ρ≈5×10 kg/m，C正确。
【方法技巧】天体密度的测量方法 1．重力加速度法
D．5×1018 kg/m3
利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 MmgR2
(1)由GR2＝mg得天体质量M＝G。 MM3g
(2)天体密度：ρ＝V＝4＝4πGR。
33πR2．卫星环绕法
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 Mm4π2r4π2r3
(1)由Gr2＝mT2得天体的质量M＝GT2。
MM3πr3
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝V＝4＝GT2R3。
33πR
3π
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝GT2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
【变式3】（2018浙江卷）土星最大的卫星叫“泰坦”（如图），每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为
，已知引力常量
，则土星的质量约为（ ）
A.
【答案】 B
B. C. D.
【解析】卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力设土星质量为M：解得
带入计算可得：
，
，故B正确，A、C、D
错误；故选B。
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