导数专题
一、导数的基本应用
（一）研究含参数的函数的单调性、极值和最值基本思路：定义域基本方法：
→→ 疑似极值点
→→ 单调区间
→→ 极值→→ 最值
一般通法：利用导函数研究法
特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法
第一组本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类讨论的能力与技巧【例题1】已知函数
f(x)
2
2xb
2
(x1)
，求导函数
f(x)，并确定f(x)的单调区间．
解：f(x)
2(x1)(2x(x1)
b)2(x1)
4
2x2b2
3
2[x(b1)](x1)
3
(x1)
．
令f(x)当b当b
0，得xb1．2时，f(x)
2x1
，所以函数
11，即b11，即b
f(x)在(，1)和(1，)上单调递减．
2时，f(x)的变化情况如下表：
x
(
，b1)
(b11)，
(1，
)
b1
f(x)
0
当b11，即b2时，f(x)的变化情况如下表：
x
(b1，
)
(，1)(1，b1)
b1
f(x)
0
所以，
b2时，函数f(x)在(bb
2时，函数f(x)在(2时，函数f(x)在(
，b1)和(1，，1)和(1，
)上单调递减，在(b11)，上单调递增，
)上单调递减．
)上单调递减，在(1，b1)上单调递增．
，1)和(b1，
第二组本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧
【例题2】已知函数f(x)求m、n的值及函数
x
3
mx
2
nx2的图象过点(1,6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称（Ⅰ）.
yf(x)的单调区间；（Ⅱ）若a0，求函数yf(x)在区间(a1,a1)内的极值.
解：（Ⅰ）由函数f(x)图象过点(1,6)，得mn
3，………①
由f(x)
x
3
mx2
nx2，得f(x)3x
2
2mxn，则g(x)f(x)6x3x
2
(2m6)xn；
而g(x)图象关于y轴对称，所以－
2m6230，所以m3，
代入①得n0.于是f(x)
3x
2
6x
3x(x
2).
由f(x)0得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(
,0)，(2,)；
由f(x)
0得0
x
2，故f(x)的单调递减区间是(0,2).
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f(x)3x(x
2)，令f(x)
0得x
0或x2.
当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：
x
(,0)
0
(0,2)
2
(2,)
f'(x)＋0 －0 ＋f(x)
增
极大值
减
极小值
增
由此可得：当
0a1时，f(x)在(a1,a1)内有极大值f(0)2，无极小值；
当
a1时，f(x)在(a1,a1)内无极值；
当1a
3时，f(x)在(a1,a1)内有极小值f(2)
6，无极大值；
当
a3时，f(x)在(a1,a1)内无极值.
综上所述，当
0a1时，f(x)有极大值
2，无极小值；当1a3时，f(x)有极小值
6，无极大值；当a3时，f(x)无极值.
点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研
究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平【例题3】已知函数
f(x)x
2x
1alnx，a＞0，
(I)讨论f(x)的单调性; (II)
设a=3，求f(x)在区间[1，e2
]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数
.
解：（Ⅰ）由于
f/
(x)1
2a/
x
2
x,令t
1x
得f(x)
2t
2
at1(t0)
①当
a
2
8
0，即0a
22时，f/
(x)0恒成立，∴f(x)在(
,0),(0,
)上都是增函数.
a1或
.
②当
a
2
80，即a
a
22时，a4
2
由2t
2
at10得t
2
8
或t
aa4
2
8
∴
x0或x
aa2
8
或0x
aa2
2
8
又由2t
2
at1a
0得
aa4
2
8
t
aa4
2
8
，∴
aa2
2
8
x
aa2
2
8
综上,当022f(x)在(
a
,0),(0,
a2
2
)上都是增函数；8
a
a2
2
当a22f(x)在(
2
,0),(0,
2
)及(
8
,
)上都是增函数，
在(
aa2
8a,
a2
8
)是减函数.
（2）当
a
3时，由（1）知，f(x)在[1，2]上是减函数，在[2,e2]上是增函数.
0,f(2)
23ln2
2
又f(1)0,f(e)
2
e
2
2e
2
5
2
02e
2
∴函数f(x)在区间[1，e]上的值域为[2点评：
3ln2, e5].
（1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧；（2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题（二）利用函数的单调性、极值、最值，求参数取值范围基本思路：定义域
→→ 单调区间、极值、最值
→→ 不等关系式
→→ 参数取值范围
基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等【例题4】已知函数
.
f(x)x
3
2bx
2
cx2的图象在与x轴交点处的切线方程是
y5x10.
（I）求函数f(x)的解析式；（II）设函数g(x)量x的值.
解：（I）由已知,切点为(2,0),故有f(2)又f(x)
f(x)
13
mx，若．g(x)的极值存在．．．．．，求实数m的取值范围以及函数
g(x)取得极值时对应的自变
0,即4bc3128bc
f(x)
0
……①
3x
2
4bxbx
3
c，由已知f(2)1,c2x
2
5得8bcx3x
3
7
x
0……②
213m
0
联立①②，解得（II）因为g(x)
1.所以函数的解析式为x
2
13mx
2x
2
令g(x)
2
4x1
当函数有极值时，方程．．．．．．．．．．
3x
2
4x1
1323
m
0有实数解．．．．.则
23(2
左右两侧均有
4(1m)0，得m1.
①当②当
m1时，g(x)m1时，g(x)
0有实数x
，在xg(x)1(2
0，故g(x)无极值
1m),g(x),g(x)情况如下表：0有两个实数根x1
11m),x23
3x(
,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2
)
g(x)+ 0 - 0
+ g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以在m(,1)时，函数g(x)有极值；当x13
(2
1m)时，g(x)有极大值；当x
13(2
1m)时，g(x)有极小值；
点评：（1）本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.
（2）
本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大
【例题5】设aR，函数f(x)
ax
3
3x2
．
（Ⅰ）若
x2是函数y
f(x)的极值点，求a的值；（Ⅱ）若函数
g(x)
f(x)f(x)，x[0，2]，在x0处取得最大值，求
a的取值范围．
解：（Ⅰ）f(x)
3ax
2
6x
3x(ax
2)．
因为
x
2是函数yf(x)的极值点，所以
f(2)
0，即6(2a
2)
0，因此a1．
经验证，当
a1时，x
2是函数y
f(x)的极值点．（Ⅱ）
x)
ax
3
3x2
3ax
2
6x
ax2
由题设，g((x3)3x(x
2)．
当g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)时，
g(0)≥g(2)0≥20a
24a≤
6，即．故得
5
a≤
6
反之，当
5时，对任意x[0，
2]，g(x)≤6
x2
5
(x3)3x(x2)
3x5(2x
2
x10)
3x5
(2x5)(x2)
≤0，
而g(0)
0，故g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(0)．
.
综上，a的取值范围为
点评：
6，5．
.
.
（1）本题是求函数最值的逆向问题，答案所用的解法是一种比较特殊的方法，具有一定的思维难度（2）本题若用一般方法，则可求出（三）导数的几何意义【例题6】设函数f(x)
（Ⅰ）求y
g(0)=0，将问题转化为
g(x)≤0的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大
ax
bx
，曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x4y120.
f(x)的解析式；
y
f(x)上任一点处的切线与直线
（Ⅱ）证明：曲线值.
解：（Ⅰ）方程7x
x0和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定
4y120可化为yb2b4
74
y
'
74
x3，当x2时，y
12
；
又f
'
xa
bx
2
2a
，于是
12，解得
a1b
3x
2
a
3
，
故f
xx
3x
（Ⅱ）设
Px0,y0为曲线上任一点，由1
3x0
2
1
知曲线在点
Px0,y0处的切线方程为x0
6
；0,x0
2x0,2x0；12
6
2x0x0
6；
6.
yy0xx0，即y
6x0x
x0
3x0x
1
3x0
2
x
令
xy
0，得yx，得y
，从而得切线与直线
0的交点坐标为y
令
2x0，从而得切线与直线
x
0,y
x的交点坐标为
所以点
Px0,y0处的切线与直线y
x所围成的三角形面积为
故曲线
fx上任一点处的切线与直线x0,yx所围成的三角形面积为定值
二、导数应用的变式与转化（一）函数的零点存在与分布问题
问题设置：根据函数零点或方程实数根的个数求参数取值范围基本方法：
通性通法：函数最值控制法
特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理
第一组二次函数
（1）本组题旨在加深对二次函数零点存在性与分布问题的认识；（2）本题旨在提升对函数与方程关系问题的认识水平；
（3）研究二次函数零点分布问题时，除了判别式法以外，应补充极值（最值）控制法，为三次函数零点分布研究做方
法上的铺垫.
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