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11.（2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，AB是⊙O的直径， =，E是OB的中点，连接
CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长．
【解答】（1）证明：连接OC． ∵AB是⊙O的直径，
=
，∴∠BOC=90°．
∵E是OB的中点，∴OE=BE．在△OCE和△BFE中． ∵线；
（2）解：∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，∴AF=∴S△ABF=
，4×2=2
?BD，∴BD=
．
=
=2
，
，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF=∠COE=90°，∴直线BF是⊙O的切
12．（2018·辽宁省抚顺市）（12.00分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB.连接DO并延长交CB的延长线于点E． （1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
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（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．
【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明； （2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE=EB+OB，可得（8﹣r）=r+4，推出r=3，由tan∠E=
=
，推出=
，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题；
2
2
2
2
2
2
【解答】（1）证明：连接OC．
∵CB=CD，CO=CO，OB=OD， ∴△OCB≌△OCD， ∴∠ODC=∠OBC=90°， ∴OD⊥DC， ∴DC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r． 在Rt△OBE中，∵OE=EB+OB， ∴（8﹣r）=r+4， ∴r=3， ∵tan∠E=∴=
，
=
，
2
2
2
2
2
2
∴CD=BC=6， 在Rt△ABC中，AC=
=
=6
．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
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13. （2018?呼和浩特?10分）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且（1）求证：PD是⊙O的切线； （2）若AD=12，AM=MC，求
的值．
=
．
（1）证明：连接OD.OP、CD． ∵
=
，∠A=∠A，
∴△ADM∽△APO， ∴∠ADM=∠APO， ∴MD∥PO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3， ∵OD=OM， ∴∠3=∠4， ∴∠1=∠2， ∵OP=OP，OD=OC， ∴△ODP≌△OCP， ∴∠ODP=∠OCP， ∵BC⊥AC， ∴∠OCP=90°， ∴OD⊥AP， ∴PD是⊙O的切线．
（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD， ∵AM=MC， ∴AM=2MO=2R，
在Rt△AOD中，OD+AD=OA， ∴R+12=9R， ∴R=3
，
2
2
2
2
2
2
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∴OD=3∵
=
，MC=6=，
，
∴DP=6，
∵O是MC的中点， ∴
=
=，
∴点P是BC的中点， ∴BP=CP=DP=6， ∵MC是⊙O的直径， ∴∠BDC=∠CDM=90°，
在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6∴BM=6
，
，
∵△BCM∽△CDM， ∴
=
，即， =
． =
，
∴MD=2∴
=
14. （2018?乐山?10分）如图，P是⊙O外的一点，PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC． （1）求证：AC∥PO；
（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求
的值．
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