2001年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷
《数学三》试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
?zxy(1)设z?f(xy,)?g()，其中f,g均可微，则?_______。
?xyx（2）???1dx?_______。 x2?xe?e1111（3）若四阶矩阵A 与B 相似； 矩阵为A 的特征值为,,,，则行列式
2345B?1?E?______。
（4）设随机变量X 的概率密度为
?1
?3,x?[0,1]??2
f(x)??,x?[3,6]
?9
?0,其它??
若k使P?X?k??2，则k的取值范围是_____________ 3?1,X?0?（5）设随机变量X 在区间[?1,2]上服从均匀分布；随机变量Y??0,X?0，则方差
??1,X?0?D(Y)?_______。
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
（1）设对任意的x，总有??x??f?x??g?x?,且lim[g(x)??(x)]?0，则limf(x)x??x??（ ）
(A) 存在且等于零 (B)存在但不一定为零 (C) 一定不存在 (D) 不一定存在
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（2）设函数f?x?在点x?a处可导，则函数f?x?在点x?a处不可导的充分条件是（ ）
(A)f?a??0且f??a??0 （B） f?a??0且f??a??0 (C)f?a??0且f??a??0 (D)f?a??0且f??a??0 （3）设?1,?2,?3是四元非齐次线性方程组AX ? b的三个解向量，且秩?A??3
?1??1,2,3,4?,?2??3??0,1,2,3?，则线性方程组AX ? b的通解X为c表示任意常数，（ ）
（A）(1,2,3,4)T?c(1,1,1,1)T （B）(1,2,3,4)T?c(0,1,2,3)T （C）(1,2,3,4)T?c(2,3,4,5)T （D）(1,2,3,4)T?c(3,4,5,6)T
（4）设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）：Ax?0和（Ⅱ）：
ATAx?0，必有（ ）
TT（A）（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解 （B）（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解， 但（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解. （C）（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解， （Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解 （D）（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解， 但（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解
（5）在电炉上安装4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以E 表示事件“电炉断电”，而T(1)?T(2)?T(3)?T(4)为4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于（ ）
(A) ?T(1)?t0? (B) ?T(2)?t0? (C) ?T(3)?t0? (D) ?T(4)?t0?
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三、（本题满分6 分）
求微分方程 y?? ?2y? ?e2x?0满足条件y?0??1,y??0??1的解
四、（本题满分6 分） 计算二重积分??Dx2?y24a2?x2?y2dxdy，其中D是由曲线y??a?a2?x2(a?0)和直线
y??x围成的区域.
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五 、（本题满分6 分）
假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是
p2?12?Q2，其中p1,p2分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万 p1?18?2Q1， 元/吨）， Q1和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是C?2Q?5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q?Q1?Q2
（1） 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场该产品的销售量和价格，使该 企业获得最大利润；
（2） 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一 的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种策略的总利润大小。
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六、（本题满分7 分）
?求函数y?(x?1)e2
?arctanx的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线
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