2019年华为杯数学建模大赛暨全国选拔赛

2019年“华为杯”数学建模大赛暨全国选拔赛

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大连交通大学理学院数学建模竞赛指导组

2019年5月

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数学建模竞赛论文撰写模版

论文题目：太阳影子定位分析模型

摘要

月球是距离地球最近的天体，对月球资源和环境进行科学研究和考察，是人类走出地球，探索未知世界所必需经历的重要步骤。为了求解近月点、远月点位置以及探测器位于这两点的速度。通过建立月心-赤道坐标系，从预定着陆点的经纬度出发，导出近月点坐标，进一步确定远月点坐标。嫦娥三号软着陆过程中从着陆准备轨道进入至着陆轨道后，为了减少有限推力作用下月球探测器软着陆所需的燃料消耗,通过软着陆动力学方程，求解月球软着陆最优控制中的两点边值问题，并采用数值解法对其结果进行进一步的优化。--------

提示：摘要非常重要，请认真撰写 包括主要思想 方法和结论 不要有错别字和重复的内容

关键词：软着陆，非线性规划，数值迭代，曲面拟合，顺时针螺旋搜索

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一、问题重述 1.1问题背景

嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2。4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力-------------------------- 1.2问题分析

登月探测器首先被发射到环月停泊轨道上然后根据预先选择的着陆地点，着陆器绕环月轨道上经霍曼变轨后转入远月点100km,近月点15km的椭圆形轨道，在该轨道的近月点主减速发动机点火实现所谓的远着陆，着陆器的大部分燃料消耗在主减速发动机的制动发动上，所以月球软着陆的设计主要以燃烧最优性为出发点，同时保证准确着陆到预定着陆点，通过将球形经纬曲面展开至经纬平面的方法，将三维坐标中求近月点，远月--------------------------------。

二、模型的假设 1.假设将推力F视为常量。

2.假设飞行探测器降落过程中，将月球的重力加速度g月视为常量。 3.假设不考虑切向加速度对加速度的影响。 4.将月球等效看成圆球体。

5.在确定近月点、远月点的位置过程中，不考虑飞行探测器的水平位移。 三、符号说明

符号 v 含义 着陆器沿着r方向上的速度 r ? ? 月心距 推力与切线方向的夹角 飞行探测器的角速度 m 飞行探测器的质量 3

单位 M/s 备注 Km Rad Rad/s KG

四、模型建立与求解

4.1软着陆的动力学方程

在着陆器减速下降的过程中，月球引力的非球项，日月引力摄动和月球旋转均可忽略，并假设着陆轨道在纵向平面内建立,其图如下所示:

图6.1 月球软着陆极地坐标图

轨道平面极坐标系，坐标圆点在月心O，y轴指向初始轨道近月点，x轴指向登月器开始运动的方向。

软着陆的动力学方程描述如下：

代就能得到一个比较将确定结果，同样也减少了运算量。

月球软着陆轨道是一个服从两点边值约束问题，由于起点处于或满转移轨道的近月 的竖直投影的集合，可得圆的方程为：

22（X?a）?（Y-b）?l2，

（10）

可得直线集合方程为:

Y-b?K（X-a）

(11)

S2并将两式联立可得:X?,Y?K（X?a)?b 其中a和b分别为在此平面直角坐标

1?K2系下着陆点的X,Y坐标值分别为 ：

??a??r0 ??180??b???r0?180? (12)

?与?则分别为着陆点的经度和纬度。即?为19.51W，?为44.12N代入公式得出即a=591.47km,b=1337.57km。并假设着陆器的运行轨道与月球经度在同一个平面上，那么，

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X?a,Y?b?l，即?为

b?la?180?180，可得近月点的坐标为： ,?为?r0?r0

(X,Y)?(19.51W,28.9989N)

当考虑远月点时，其?'与?'所符合的点于月球中心与着陆点两点所连直线上，则

S2S2'180/?roE,?=K（(?591.47)?1337.57)180/?r0S,及坐标为?=

1?K21?K2'(19.51W,28.9989S)而关于近月点，远月点相应的速度。采用万有引力定律，Mmv2F?G?m在远月点与近月点分别代入h1=100km,h2=15km。可得:

(R?h)2(R?h)。

V远月?1633.36m/s，V近月?1672.51m/s

方向与运行轨道切线方向一致。

4.2自主避障制导

设计的精障碍识别和安全着陆区选取算法为:

1)数据预处理, 主要包括对着陆器姿态和平动速度的补偿以及将每个“脚印”的斜距信息转换成垂直距离,构建测量坐标系下据月球表面分别为2.4km和0.1km的地形三维高程图，如下图所示:

图6.2 距2400m处的三维数字高程图

图6.3 距月面100m处的数字高程图

2)平均坡面构建, 采用最小二乘法拟合一定单元区域的平均坡面,最小二乘拟合多项式

s?p(x)，具有多项式形式--------------------------------

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