46答案： 5
12．已知AC、BD为圆O：x＋y＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD的面积的最大值为__________．
解析：设圆心O到AC、BD的距离为d1、d2，垂足分别为E、F，则四边形OEMF为矩形，则有d1＋
2
2
2
d22＝3.
由平面几何知识知|AC|＝24－d1，|BD|＝24－d2， 1
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|
2＝24－d1·4－d2 ≤(4－d1)＋(4－d2) ＝8－(d1＋d2) ＝5，
即四边形ABCD的面积的最大值为5. 答案：5
13．若直线2ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x＋y＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则ab的最大值是__________．
解析：圆x＋y＋2x－4y＋1＝0的圆心为(－1,2)，半径r＝2，若直线被截得的弦长为4，则圆心在直线上，所以－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1.所以ab≤?
1
故(ab)max＝.
41答案：
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
?a＋b?2＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号．
?2?2?4
5
14．已知两圆x＋y－10x－10y＝0，x＋y＋6x－2y－40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为__________；公共弦长为__________．
解析：由两圆的方程x＋y－10x－10y＝0，x＋y＋6x－2y－40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x＋y－5＝0.圆心(5,5)到直线2x＋y－5＝0的距离为50－20＝30，得公共弦长为230. 答案：2x＋y－5＝0 230 三、解答题
105
＝25，弦长的一半为
2
2
2
2
2222
x≥0，??
15．已知平面区域?y≥0，
??x＋2y－4≤0
覆盖．
(1)试求圆C的方程；
2
恰好被面积最小的圆C：(x－a)＋(y－b)＝r及其内部所
222
(2)若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A、B，满足CA⊥CB，求直线l的方程． 解析：(1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是5，
所以圆C的方程是(x－2)＋(y－1)＝5. (2)设直线l的方程是y＝x＋b， 因为CA⊥CB，所以圆C到直线l的距离是|2－1＋b|10
即＝，解得b＝－1±5. 22
21＋1所以直线l的方程为y＝x－1±5.
答案：(1)(x－2)＋(y－1)＝5；(2)y＝x－1±5.
16．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)＋(y－2)＝4. (1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为23，求a的值．
解析：(1)圆心C(1,2)，半径为r＝2， 当直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心C(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知， 此时，直线与圆相切．
当直线的斜率存在时，设方程为y－1＝k(x－3)，
6
2
2
2
22
10
， 2
即kx－y＋1－3k＝0.
|k－2＋1－3k|3
由题意知＝2，解得k＝. 4k2＋13
∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
4故过M点的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. |a－2＋4|4
(2)由题意有＝2，解得a＝0或a＝.
3a2＋1(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为
|a＋2|
a＋1
2
，
?|a＋2|?2?23?2
∴?2?＋??＝4， ?a＋1??2?
3
解得a＝－. 4
43
答案：(1)x＝3或3x－4y－5＝0；(2)a＝0或a＝；(3)a＝－.
34
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1．已知圆的方程为x＋y－6x－8y＝0，a1，a2，…，a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a1，a2，…，a11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是__________．
解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，10－465－26
因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为＝.
105
5－26
答案：
5
2．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x＋y－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是__________．
|4k－2|
解析：设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝2，由题意知，问题转化为d≤2，
k＋1|4k－2|44即d＝2≤2，得0≤k≤，所以kmax＝.
33k＋1
4
答案：
3
3．[2014·东北三校联考]若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x＋y＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为__________．
解析：由题意可知圆C：x＋y＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为22
2
2
2
2
2
2
2
4－?
?c?2
22?，?a＋b?
7
由于a＋b＝c，所以所求弦长为23.
答案：23
222
?2?4．已知以点C?t，?(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O?
t?
为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程． 解析：(1)证明：由题设知，圆C的方程为
?2?2242
(x－t)＋?y－?＝t＋2，
?
t?
t422
化简得x－2tx＋y－y＝0，
t当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)； 4?4?当x＝0时，y＝0或，则B?0，?，
t?t?
114
所以S△AOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·||＝4为定值．
22t(2)∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，
2
t21
∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝2＝，∴t＝2或t＝－2.
tt2
∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，
∴圆C的方程为(x－2)＋(y－1)＝5或(x＋2)＋(y＋1)＝5，
由于当圆方程为(x＋2)＋(y＋1)＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为(x－2)＋(y－1)＝5.
答案：(1)证明略；(2)(x－2)＋(y－1)＝5.
5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x＋y－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)，且斜率为
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.
(1)求k的取值范围；
→
2
→→
2
(2)是否存在常数k，使得向量OA＋OB与PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由． 解析：(1)圆的方程可写成(x－6)＋y＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x＋(kx＋2)－12x＋32＝0，
整理得(1＋k)x＋4(k－3)x＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A、B等价于Δ＝[4(k－3)]－4×36(1＋k)＝4(－8k－6k)>0，
2
2
2
2
2
2
2
2
8
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