2019年江苏省无锡市中考数学试题（解析版）

已知二次函数y?ax?bx?4(a＞0)的图像与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．D为顶点，直线AC交对称轴于点E，直线BE交y轴于点F，AC：CE＝2：1．

（1）求C点坐标，并判断b的正负性；

（2）设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写2出OA的取值范围．

yxO

【答案与解析】

（1） 令x=0，则y??4，∴C（0，-4）

∵ OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即?b2a?0 ∵a＞0，∴b＜0 （2）

①过点D作DM⊥oy，则

DCCA?DMOA?MCCO?12, ∴DM?12AO 设A（-2m，0）m＞0，则AO=2m,DM=m ∵OC=4，∴CM=2

∴D（m，-6），B（4m，0）

yxO

A型相似可得

DNBN? OEOB∴OE=8

1S△BEF??4?4m?8

2∴m?1

∴A（-2，0），B（4,0） 设y?a(x?2)(x?4) 即y?ax?2ax?8a 令x=0，则y=-8a ∴C（0，-8a）

2∴-8a=-4，a=

112 ∴y?x?x?4 22②易知：B（4m，0）C（0，-4）D（m，-6），通过分析可得∠CBD一定为锐角 计算可得CB?16m?16,CD?m?4,DB?9m?36 1°当∠CDB为锐角时，CD?DB＞CB

222222222m2?4?9m2?36＞16m2?16，解得?2＜m＜2

2°当∠BCD为锐角时，CD?CB＞DB

2222m2?4?16m2?16＞9m2?36,解得m＞2或m＜-（舍）

综上：2＜m＜2，22＜2m＜4 ∴22＜OA＜4

28．（本题满分10分）

如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t(s)．

（1）若AB＝23．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．

（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论∠PAM＝45°是否总是成立？请说明理由．

DCDB'B'PPCDCABABAB

【答案与解析】

（1）①勾股求的AC=21 易证△CBP∽△CBA,

'23B'P故?,解得B'P=27?4

321?23②1°如图，当∠PCB’=90 °时，在△PCB’中采用勾股得：(3)?(3?t)?t，解得t=2

222

B'DCD3323B't3C3-tPtPB'DA23BABA

2°如图，当∠PCB’=90 °时，在△PCB’中采用勾股得：(33)?(t?3)?t，解得t=6

222Ptt-3B'D3233C233A23B

3°当∠CPB’=90 °时，易证四边形ABP’为正方形，解得t=23

B'DCPB'DCABAB

（2）如图

DMB'43CP21AB

∵∠PAM=45°

∴∠2+∠3=45°，∠1+∠4=45° 又∵翻折

∴∠1=∠2，∠3=∠4 又∵∠ADM=∠AB’M（AAS） ∴AD=AB’=AB

即四边形ABCD是正方形 如图，设∠APB=x

PMB'43MB'DCDCP21AB

AB∴∠PAB=90°-x ∴∠DAP=x