专题15 解三角形
【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b?6,a?2c,B?则△ABC的面积为_________． 【答案】63
π，3【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ理数】在△ABC中，cosC5，BC?1，AC?5，则AB? ?25A．42 B．30 C．29 【答案】A
D．25 【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ理数】已知sin?A?C??8sin△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，（1）求cosB；
（2）若a?c?6，△ABC的面积为2，求b． 【答案】（1）cosB?2B ．215；（2）b?2． 17
【命题意图】三角函数主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题,常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式,甚至三角函数的图象和性质等交汇命题,多以选择、填空、解答题的形式出现,属解答题中的低档题．预测今后的高考仍将以正弦定理、余弦定理,尤其是两个定理的综合应用为主要考点,可能与三角函数的图象和性质等交汇命题,重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．
【命题规律】本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.
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【应试技巧】
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 1．正弦定理：2．常见变形
abc. ==sinAsinBsinCsinAasinCcsinBb（）1?,?,?,asinB?bsinA,asinC?csinA,bsinC?csinB;
sinBbsinAasinCcabca?ba?cb?ca?b?c（2）??????;
sinAsinBsinCsinA?sinBsinA?sinCsinB?sinCsinA?sinB?sinC（3）a:b:c?sinA:sinB:sinC;
abc（4）正弦定理的推广：===2R，其中R为△ABC外接圆的半径.sinAsinBsinC
3．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2accosB，c2?a2?b2?2abcosC. 4．余弦定理的推论
从余弦定理，可以得到它的推论
b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2cosA?,cosB?,cosC?
2bc2ca2ab5．三角形面积公式
（1）三角形的高的公式：hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA． （2）三角形的面积公式：S=
111absinC，S=bcsinA，S=casinB. 2226．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
7．三角形解的个数的探究（以已知a，b和A解三角形为例）
bsinAbsinA?1，?1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若sinB=aabsinA?1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 则满足条件的三角形的个数为1；③若sinB=absinA?1可知B可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”“三角形内角注：对于（3），由0?sinB=a（1）从代数角度来看：①若sinB=和等于180°”等进行讨论.
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（2）从几何角度来看：①当A为锐角时，
一解
②当A为钝角或直角时，
一解
两解
无解
一解
8．利用余弦定理解三角形的步骤
一解
无解
无解
【解题经验分享】
1．对三角形中的不等式,要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”． 2．在解实际问题时,需注意的两个问题
(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地找出这些角；
(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决．
3.利用正弦定理与余弦定理解题时,经常用到转化思想一个是把边转化为角,另一个是把角转化为边,,具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,也是我们利用正弦定理与余弦定理化简式子的最终目标,对于两个定理都能用的题目,应优先考虑利用正弦定理,会给计算带来相对的简便,根据已知条件中边的大小来确定角的大小,此时利用正弦定理去计算较小边所对的角,可避免分类讨论,利用余弦定理的推论,可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是有锐角还是钝角,但计算麻烦.
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